từ câu a) ta có: \(\orbr{\begin{cases}x=y+1\\x=y-1\end{cases}}\) và \(\hept{\begin{cases}x-y=t-z\\y=t\end{cases}}\) (3) 

+) Với \(x=y+1\) thì (3) \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}y+1-y=y-z\\y=t\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=z+1\\y=t\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)\(x=y+1=z+2\) ( x,y,z là 3 số nguyên liên tiếp ) 

+) Với \(x=y-1\) thì (3) \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}y-1-y=y-z\\y=t\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=z-1\\y=t\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)\(x=y-1=z-2\) ( x,y,z là 3 số nguyên liên tiếp ) 

\(x+z=y+t\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+z^2+2xz=y^2+t^2+2yt\) (1) 

Mà \(xz+1=yt\)\(\Leftrightarrow\)\(2xz+2=2yt\)

(1) \(\Leftrightarrow\)\(x^2+z^2+2yt=y^2+t^2+2xz+4\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-z\right)^2-\left(y-t\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-z-y+t\right)\left(x-z+y-t\right)=4\) (2) 

Lại có: \(x+z=y+t\)\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x-y=t-z\\x-t=y-z\end{cases}}\)

(2) \(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)\left(x-t\right)=1\)

TH1: \(\hept{\begin{cases}x-y=1\\x-t=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y+1\\x=t+1\end{cases}}\Leftrightarrow y=t\)

TH2: \(\hept{\begin{cases}x-y=-1\\x-t=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y-1\\x=t-1\end{cases}}\Leftrightarrow y=t\)

đề bài phải là x,y,z,t nguyên dương. 
Vì nếu cho x=z=1;y=t=0 thì thỏa mãn: x²+y²=z²+t² 
nhưng x+y+z+t = 2 là số nguyên tố. 

với x,y,z,t là số nguyên dương => x+y+z+t >=4 
giả sử x+y+z+t là số nguyên tố 
ta có x+y+z+t >= 4 => x+y+z+t lẽ 
=> trong x,y,z,t có một số lẽ số lẽ ( 1 hoặc 3 số lẽ ) 
* trường hợp 1: có 1 số lẽ, giả sử là x => x²+y² lẽ , còn z²+t² chẳn, vô lý vì chúng bằng nhau 
* trường hợp 2: có 3 số lẽ, 1 số chẳn, giả sử x chẳn. => x²+y² lẽ , còn z²+t² chẳn, vô lý. 
mọi trường hợp đều dẫn kết điều mâu thuẩn , vậy giả thiết phản chứng là sai và bài toán được chứng minh.

tính mò là ra tuy hơi lâu

cần cù bù thông minh mà =))

Xét các TH : 
1) x = 0 ---> y+z = 20
...y có 21 khả năng (từ 0 đến 20\), z có 21 khả năng tương ứng (từ 20 đến 0) 
...---> TH 1 có 21 nghiệm 
2) x = 1 ---> y+z = 19
...y có 20 khả năng, z có 20 khả năng tương ứng ---> TH 2 có 20 nghiệm 
3) x = 2 ---> y+z = 18
...Tương tự, TH 3 có 19 nghiệm 
4) x = 3 ---> y+z =17 ---> TH 4 có 18 nghiệm 
.......................................... 
.......................................... 
.......................................... 
Tổng số bộ 3 số nguyên ko âm thỏa mãn pt (tức tổng số nghiệm nguyên ko âm của pt) là 1+2+3+ ... + 21 = 231

refer

https://olm.vn/hoi-dap/detail/1303479279140.html

1. Ta chọn $x=3k;y=4k;z=5k$ với $k$ là số nguyên dương.

Khi này $x^2+y^2=25k^2 =z^2$. Tức có vô hạn nghiệm $(x;y;z)=(3k;4k;5k)$ với $k$ là số nguyên dương thỏa mãn

Câu 2:

Chọn $x=y=2k^3; z=2k^2$ với $k$ nguyên dương.

Khi này $x^2+y^2 =8k^6 = z^3$.

Tức tồn tại vô hạn $(x;y;z)=(2k^3;2k^3;2k^2) $ với $k$ nguyên dương là nghiệm phương trình.

Câu 2:

Chọn  với nguyên dương.

Khi này .

Tức tồn tại vô hạn  với  nguyên dương là nghiệm phương trình.

\(xy+yz+zx=xyz\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

Do vai trò của x;y;z bình đẳng như nhau;giả sử:\(1< x\le y\le z\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}\ge\frac{1}{y}\ge\frac{1}{z}\)

Khi đó,ta có:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=1\)

\(\Rightarrow\frac{3}{x}\ge1\)

\(\Rightarrow x=3;x=2\)

+) Với \(x=3\)\(\Rightarrow\frac{1}{3}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{y}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{y}\ge\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow y\le3\)

\(\Rightarrow y=2;y=3\)

+) với \(y=2\Rightarrow z=6\)

+) Với \(y=3\Rightarrow z=3\)

Với \(x=2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{y}\ge\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow y=1;y=2;y=3;y=4\)

Đến đây rồi thử vào rồi tìm ra z.

Câu kết nhớ từ "HOÁN VỊ"