Hình vẽ:

Lời giải:

1.

Xét tam giác $BHA$ và $BAC$ có:

$\widehat{B}$ chung

$\widehat{BHA}=\widehat{BAC}=90^0$

$\Rightarrow \triangle BHA\sim \triangle BAC$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BC}\Rightarrow BA^2=BH.BC$

Tương tự, ta cũng cm được: $\triangle CHA\sim \triangle CAB$ (g.g)

$\Rightarrow CA^2=CH.CB$

Do đó:

$CA^2+CB^2=BH.BC+CH.CB=BC(BH+CH)=BC.BC=BC^2$ 

(đpcm)

b. Xét tam giác $BHA$ và $AHC$ có:

$\widehat{BHA}=\widehat{AHC}=90^0$

$\widehat{HBA}=\widehat{HAC}$ (cùng phụ $\widehat{BAH}$)

$\Rightarrow \triangle BHA\sim \triangle AHC$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{BH}{AH}=\frac{HA}{HC}$

$\Rightarrow AH^2=BH.CH$

c.

$\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{AB^2+AC^2}{AB^2.AC^2}$

$=\frac{BC^2}{AB^2.AC^2}=(\frac{BC}{AB.AC})^2=(\frac{BC}{2S_{ABC}})^2$

$=(\frac{BC}{AH.BC})^2=\frac{1}{AH^2}$

.d. Hiển nhiên theo công thức diện tích. 

Bài 4:

Gọi M là giao điểm của EF với BC, N là giao điểm của DF với AB, ta có:
Ta có: DF vuông góc với AH
BC vuông góc với AH
DF song song với BC (hay BM)   (2 góc trong cùng phía)
Mà  là góc ngoài của  nên 
 
 
 AB song song với MF (hay EF) (vì có 2 góc đồng vị bằng nhau) (1)
  (2 góc so le trong)

Xét  và  có:
 
AH = DE (vì AD +DH = DH + HE)
 (ch/minh trên)
  (cạnh góc vuông - góc nhọn)  DF = BH (2 cạnh tương ứng)
Xét  và  có:

HE = AD (gt)
BH = DF (ch/minh trên)

  (2 cạnh góc vuông)   (2 góc tương ứng)
 BE song song với AF (hay AC) (vì có 2 góc so le trong bằng nhau) (2)
Mặt khác:   BA vuông góc với AC (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: BE vuông góc với EF (đpcm)

ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc

a: Xét ΔABC có \(BC^2=AB^2+AC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

b: Đề sai rồi bạn

a: Xét tứ giác AEMF có

\(\widehat{AEM}=\widehat{AFM}=\widehat{FAE}=90^0\)

Do đó: AEMF là hình chữ nhật

b: Ta có: AEMF là hình chữ nhật

nên AM=EF

mà AM=BC/2

nên EF=BC/2

( Thông cảm hình bị lệch )

a) + Xét \(\Delta ABC\)và \(\Delta DMC\)có :

AM = DM ( gt )

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)( vì là hai góc đối đỉnh )                => \(\Delta AMB=\Delta DMC\)

MB = MC ( AM là trung tuyến của \(\Delta ABC\))

=> \(\widehat{B}=\widehat{MCD}\)( hai góc tương ứng )

=> DC // AB ( có hai góc so le trong = )

Mà AB \(\perp\)AC ( Vì \(\Delta ABC\)vuông tại A)

=> DC _|_ AC 

+ Xét \(\Delta BEC\)có :

M là trung điểm của cạnh BC ( Vì AM là trung tuyến của ABC )

=> EM là trung tuyến

A là trung điểm của BE ( Vì EA = AB ) => CA là trung tuyến

Mà EM cắt AC tại N => N là trọng tâm của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow NC=\frac{2}{3}CA\Rightarrow NC=2NA\)

+ Ta có \(\Delta AMB=\Delta DMC\Rightarrow AB=CD\)

Xét \(\Delta ACD\)có :

CD + AC > AD ( bđt tam giác ) . Mà CD = AB ; AD = 2AM

=> \(AB+AC>2AM\Leftrightarrow\frac{AB+AC}{2}>AM\)(1)

+ Xét \(\Delta AMB\)có : AM > AB - BM

          \(\Delta AMC\)có : AM > AC - CM

=> 2AM > AB + AC - BM - CM

<=> 2AM > AB + AC - (BM +CM )

<=> 2AM > AB + AC - BC

<=> AM > \(\frac{AB+AC-BC}{2}\)(2)

Từ (1), (2) => Điều cần cm trên đề bài .

a: Xét ΔABD và ΔKBD có 

BA=BK

\(\widehat{ABD}=\widehat{KBD}\)

BD chung

Do đó: ΔBAD=ΔBKD

a) Xét tam giác ABC và tam giác HAC có:

BAC = AHC =90 

ABC = HAC (cùng phụ với HAB) 

=> ABC đồng dạng HAC (g.g)

b) Vì ABC đồng dạng HAC

=> AB/BC = AH/AC

=> AB.AC=BC.AH

c) Vì AB.AC = BC.AH

=> AB^2.AC^2= BC^2 . AH^2

Mà BC^2=AB^2+AC^2 (định lý pytago ở tam giác ABC vuông tại A)

=> AB^2.AC^2= (AB^2+AC)^2.AH^2

=> 1/AH^2 =1/AB^2 +1/AC^2