CM : a) Xét t/giác ABM và t/giác ACN

có AB = AC (gt)

   góc B = góc C ( vì t/giác ABC cân tại A)

  BM = CN (gt)

=> t/giác ABM = t/giác ACN (c.g.c)

=> AM = AN (hai cạnh tương ứng)

b) Ta có: t/giác ABM = t/giác ACN (cmt)

=> góc BAM = góc CAN (hai góc tương ứng)

Xét t/giác AIM và t/giác AKN

có góc AIM = góc AKN = 90⁰ (gt)

   AM = AN (cmt)

  góc IAM = góc KAN (cmt)

=> t/giác AIM = t/giác AKN ( ch - gn)

=> AI = AK (hai cạnh tương ứng)

c)tự làm

a)Có \(\Delta ABC\)cân \(\Rightarrow AB=AC\)và \(\widehat{B}=\widehat{C}\)

Xét \(\Delta AMB\)và \(\Delta ANC\)có

\(AB=AC\left(cmt\right)\)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\left(cmt\right)\)

\(MB=MC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AMB=\Delta ANC\left(c.g.c\right)\Rightarrow AM=AN\left(dpcm\right)\)

b) Có \(\Delta AMB=\Delta ANC\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CAN}\)

Xét \(\Delta AIM\)và \(\Delta AKN\)có :

\(\widehat{AIM}=\widehat{AKN}=90^o\)

\(AM=AN\)

\(\widehat{BAM}=\widehat{CAN}\)

\(\Rightarrow\Delta AIM=\Delta AKN\left(ch-gn\right)\Rightarrow AI=AK\left(dpcm\right)\)

c) Xét \(\Delta IAE\)và \(\Delta KAE\)có :

\(AE:chung\)

\(\widehat{AIM}=\widehat{AKN}=90^o\)

\(AI=AK\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta IAE=\Delta KAE\left(ch-cgv\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{IAE}=\widehat{KAE}\)  \(\Rightarrow AE\)là phân giác của \(\widehat{IAK}\)hay \(AE\)là phân giác của\(\widehat{BAC}\)

Bạn tự vẽ hình nhé, mình sẽ giải ra đây:

a, Xét tam gác AMC và tam giác ANB, có:

             AB=AC(gt)

            \(\widehat{B}\)=\(\widehat{C}\)(gt)

             MC=NB(vì BM=MN=NC)

   \(\Rightarrow\)\(\Delta\)AMC=\(\Delta\)ANB(c.g.c)\(\Rightarrow\)AM=AN đpcm

b, Xét \(\Delta\)IMB và \(\Delta\)KNC, có:

               BM=NC(gt)

               \(\widehat{B}\)=\(\widehat{C}\)(gt)

     \(\Rightarrow\)\(\Delta\)IMB=\(\Delta\)KNC(cạnh huyền-góc nhọn)\(\Rightarrow\)IB=KC mà AB=AC\(\Rightarrow\)AI=AK đpcm

a: Xét ΔAMD vuông tại M và ΔAND vuông tại N có

AD chung

góc MAD=góc NAD

=>ΔMAD=ΔNAD

=>AM=AN

b: Xét ΔACB có AM/AB=AN/AC

nên MN//BC

c: Xét ΔADE có

AM vừa là đường cao, vừa là trung tuýen

=>ΔADE cân tại A

=>AD=AE

Xét ΔADF có

AN vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

=>ΔADF cân tại A

=>AD=AF

=>AE=AF

=>ΔAEFcân tạiA

Ta có : Tam giác ABM cân tại B

=>MAB^=AMB^ (1)

Lại có : IMB^=IAB^=90* (2)

Từ 1 và 2 : +)IAM^=90*-MAB^

                  +)IMA^ =90*-AMB^

                  =>IAM^=IMA^

=>Tam giác IAM cân tại I

=>IA=iM

''∠'' là góc nhé.
a) Vì ∆ABC vuông tại A (GT) 
=> ∠BAC = 90^o (ĐN) (1)
Vì IM ⊥ BC (GT)
=> ∠IMB = 90^o 
Mà ∠BAC = 90^o (Theo (1))
(Ngoặc ''}'' 2 điều trên)
=> ∠BAC = ∠IMB = 90^o
Hay ∠BAI = ∠IMB = 90^o (2)
Xét ∆ABI và ∆MBI có :
∠BAI = ∠IMB = 90^o (Theo (2))
  BI chung
  BA = BM (Gt)
=> ∆ABI = ∆MBI (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
=> AI = IM (2 cạnh tương ứng) (3)

b) Ta có : ∠BAC + ∠NAC = 180^o (2 góc kề bù)
    Mà ∠BAC = 90^o (Theo (1))
=> 90^o + ∠NAC = 180^o 
=> ∠NAC = 180^o - 90^o = 90^o
Vì IM ⊥ BC (GT) => ∠IMC = 90^o (ĐN)
(Ngoặc ''}'' 2 điều trên)
=> ∠NAC = ∠IMC = 90^o
Hay ∠NAI = ∠IMC = 90^o (4)
Lại có : ∠I₁ = ∠I₂ (2 góc đối đỉnh) (5)
Xét ∆ANI và ∆MCI có :
∠NAI = ∠IMC = 90^o (Theo (4))
AI = MI (Theo (3))
∠I₁ = ∠I₂ (Theo (5))
=> ∆ANI = ∆MCI (g.c.g)
=> AN = MC (2 cạnh tương ứng)
Mà AN + BA = BN
      MC + BM = BC 
     BA = BM (GT)
(Ngoặc ''}'' 4 điều trên)
=> BN = BC
=> ∆NBC cân tại B (ĐN)
P/s : Xin lỗi, mình chỉ làm được đến đây thôi, nghỉ nhiều quá nên mình ngu hẳn, có gì mình nghiên cứu lại sau :(.

a: IM vuông góc AC

AB vuông goc AC

=>IM//AB

=>góc BAM=góc IMA

b: XétΔCIM vuông tại I và ΔCIN vuông tại I có

CI chung

IM=IN

=>ΔCIM=ΔCIN

c: Xét tứ giác AKMI có

MI//AK

MI=AK

góc IAK=90 độ

=>AKMI là hình chữ nhật

=>MK//AC

d: AKMI là hình chữ nhật

=>AM=KI

bài 1 đề bài có sai ko?

Đề đúng nha bạn

Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300
; 600
; 900
 => BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE. 
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900
; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> ΔBDE=ΔCEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600
; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900
 =>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200
 (Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của  ΔABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE      => ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực  Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đề )
/

(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
 => ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM          => ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của  ΔMNP
hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).

a: \(AB=\sqrt{15^2-12^2}=9\left(cm\right)\)

b: Xét ΔBAM vuông tại A và ΔBNM vuông tại N có

BM chung

góc ABM=góc NBM

=>ΔBAM=ΔBNM

=>MA=MN

c: Xét ΔBDC có

BE là đừog cao, là phân giác

nên ΔBDC cân tại B

=>BD=BC

BA+AD=BD

BN+NC=BC

mà BD=BC; BA=BN

nên AD=NC