http://olm.vn/hoi-dap/question/597124.html

* Trong △ AOB ta có:

P trung điểm của OA (gt)

Q trung điếm của OB (gt)

Suy ra PQ là đường trung bình của △ AOB

Suy ra: PQ = 1/2 AB (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra:  (1)

* Trong  △ OAC, ta có:

P trung điểm của OA (gt)

R trung điểm của OC (gt)

Suy ra PR là đường trung bình của tam giác OAC.

Suy ra: PR =1/2 AC (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra:  (2)

* Trong  △ OBC, ta có:

Q trung điểm của OB (gt)

R trung điểm của OC (gt)

Suy ra QR là đường trung bình của tam giác OBC

Suy ra: QR = 1/2 BC (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra:  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: 

Vậy  △ PQR đồng dạng  △ ABC (c.c.c)

Vì OA=OB=OC

nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC

mà ΔABC đều

nên O là giao điểm của ba tia phân giác của các góc A,B,C

Xét ΔOAB có 

M∈OA(gt)

N∈OB(gt)

\(\dfrac{OM}{OA}=\dfrac{ON}{OB}\left(=\dfrac{1}{3}\right)\)

Do đó: MN//AB(Định lí Ta lét đảo)

Xét ΔOAB có 

M∈OA(gt)

N∈OB(gt)

MN//AB(cmt)

Do đó: \(\dfrac{MN}{AB}=\dfrac{OM}{OA}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)

⇔\(\dfrac{MN}{AB}=\dfrac{1}{3}\)(1)

Xét ΔAOC có 

M∈OA(gt)

P∈OC(gt)

\(\dfrac{OM}{OA}=\dfrac{OP}{OC}\left(=\dfrac{1}{3}\right)\)

Do đó: MP//AC(Định lí Ta lét đảo)

Xét ΔOAC có 

M∈OA(gt)

P∈OC(gt)

MP//AC(cmt)

Do đó: \(\dfrac{MP}{AC}=\dfrac{OM}{OA}\)(Hệ quả của Định lí ta lét)

hay \(\dfrac{MP}{AC}=\dfrac{1}{3}\)(2)

Xét ΔOBC có 

N∈BO(gt)

P∈CO(gt)

\(\dfrac{ON}{OB}=\dfrac{OP}{OC}\left(=\dfrac{1}{3}\right)\)

Do đó: NP//BC(Định lí Ta lét đảo)

Xét ΔOBC có 

N∈BO(gt)

P∈CO(gt)

NP//BC(cmt)

Do đó: \(\dfrac{NP}{BC}=\dfrac{ON}{OB}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)

⇔\(\dfrac{NP}{BC}=\dfrac{1}{3}\)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{MN}{AC}=\dfrac{MP}{AC}=\dfrac{NP}{BC}\)

Xét ΔMNP và ΔABC có

\(\dfrac{MN}{AC}=\dfrac{MP}{AC}=\dfrac{NP}{BC}\)(cmt)

Do đó: ΔMNP∼ΔABC(C-c-c)