a/M=2/3.5+2/5.7+2/7.9+.....+2/97.99

M=1/3-1/5+1/5-1/7+..+1/97-1/99

M=1/3-1/99

M=32/99

b)ta có 1/2.3+1/3.4+1/4.5+..+1/2015.2016+1/2016.2017<A

=>1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+..+1/2015-1/2016+1/2016-1/2017<a

1/2-1/2017<A

2/15/4034<A (1)

Ta có

1/1.2+1/2.3+1/3.4+1/4.5+..+1/2015.2016>A

=>1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+..+1/2015-1/2016>A

1-1/2016

2015/2016>A (2)

Từ (1) và (2)=>A không phải là số tự nhiên(đpcm) 

a) \(M=\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+\frac{2}{7.9}+.....+\frac{2}{97.99}\)

\(M=\frac{2}{2}.\left(\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+\frac{2}{7.9}+...+\frac{2}{97.99}\right)\)

\(M=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+...+\frac{1}{97}-\frac{1}{99}\)

\(M=\frac{1}{3}-\frac{1}{99}=\frac{33}{99}-\frac{1}{99}=\frac{32}{99}\)

b) (+)Hiển nhiên A > 0  (1)

(+) Tổng quát: \(\frac{1}{n^2}<\frac{1}{\left(n-1\right).n}\)

Ta có: \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+....+\frac{1}{2015^2}+\frac{1}{2016^2}<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2014.2015}+\frac{1}{2015.2016}\)

\(\Rightarrow A<\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}=1-\frac{1}{2016}=\frac{2015}{2016}<1\)

=>A < 1 (2)

Từ (1);(2)=>0 < A <1

=>A ko là số tự nhiên (đpcm)

chứng minh 1<A<2 là đc

giải hẳn ra đi bạn

\(M=\frac{2}{3}-\frac{2}{5}+\frac{2}{5}-\frac{2}{7}+.....+\frac{2}{97}-\frac{2}{99}\)

\(M=\frac{2}{3}-\frac{2}{99}=\frac{64}{99}\)

\(A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{2016^2}\)

Ta thấy:

\(\dfrac{1}{2^2}>0\)

\(\dfrac{1}{3^2}>0\)

\(\dfrac{1}{4^2}>0\)

...

\(\dfrac{1}{2016^2}>0\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{2016^2}>2015\cdot0=0\\ \Leftrightarrow A>0\)

Mặt khác:

\(\dfrac{1}{2^2}< \dfrac{1}{1\cdot2}=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2} \)

\(\dfrac{1}{3^2}< \dfrac{1}{2\cdot3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\)

\(\dfrac{1}{4^2}< \dfrac{1}{3\cdot4}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\)

...

\(\dfrac{1}{2016^2}< \dfrac{1}{2015\cdot2016}=\dfrac{1}{2015}-\dfrac{1}{2016}\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{2016^2}< \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2015}-\dfrac{1}{2016}\\ \Leftrightarrow A< 1-\dfrac{1}{2016}< 1\left(2\right)\)Từ (1) và (2) ta có: \(0< A< 1\)

Không có số tự nhiên nào nằm giữa 0 và 1, vậy A không phải là số tự nhiên

Rảnh quá chứng minh A>0 chi thế nhỉ

Ta thấy A > 0 (1)

Vì \(\dfrac{1}{2^2}< \dfrac{1}{1.2};\dfrac{1}{3^2}< \dfrac{1}{2.3};...;\dfrac{1}{2016^2}< \dfrac{1}{2015.2016}\)

\(\Rightarrow A< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{2015.2016}\)

\(\Rightarrow A>1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{2015}-\dfrac{1}{2016}=1-\dfrac{1}{2016}=\dfrac{2015}{2016}< 1\)(2)

Từ (1)(2) => 0 < A < 1

Vậy A không phải là số tự nhiên

Giải:

Ta có: \(A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{2016^2}>0_{\left(1\right)}.\) (do A là phân số dương).

Ta lại có:

\(A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{2016^2}.\)

\(=\dfrac{1}{2.2}+\dfrac{1}{3.3}+\dfrac{1}{4.4}+...+\dfrac{1}{2016.2016}.\)

\(< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{2015.2016}.\)

\(< 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2015}-\dfrac{1}{2016}.\)

\(< 1+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\right)+...+\left(\dfrac{1}{2015}-\dfrac{1}{2015}\right)-\dfrac{1}{2016}.\)\(< 1+0+0+0+...+0-\dfrac{1}{2016}.\)

\(< 1-\dfrac{1}{2016}.\)

\(< \dfrac{2015}{2016}.\)

\(\Rightarrow A< 1_{\left(2\right)}.\) (do \(\dfrac{2015}{2016}< 1\)).

Từ \(_{\left(1\right)}\) và \(_{\left(2\right)}\) \(\Rightarrow0< A< 1.\)

\(\Rightarrow A\) không phải là số tự nhiên.

Vậy ta thu được \(đpcm.\)

~ Học tốt!!! ~