Hỏi thêm vài câu nè :')
∫π20(x+1)sinxdx ∫0π2(x+1)sinx
∫10(x2−2x−1)e−xdx ∫01(x2−2x−1)e−xdx
1) \(\int ln^3xdx\)
2) \(\int_0^1\left(x+sin^2x\right)c\text{os}xdx\)
3)\(\int x\left(e^{2x}+\sqrt[3]{x+1}\right)dx\)
Câu 1)
\(I=\int \ln ^3 xdx\). Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln ^3x\\ dv=dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{3\ln ^2x}{x}dx\\ v=x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=x\ln ^3x-3\int \ln^2xdx\)
Tiếp tục nguyên hàm từng phần cho \(\int \ln ^2xdx\) như trên, ta suy ra:
\(\int\ln ^2xdx=x\ln^2x-2\int \ln x dx\).
Tiếp tục nguyên hàm từng phần cho \(\int \ln xdx\Rightarrow \int \ln xdx=x\ln x-x+c\)
Do đó mà \(I=x\ln ^3x-3(x\ln^2x-2x\ln x+2x)+c\)
\(\Leftrightarrow I=x\ln^3x-3x\ln^2x+6x\ln x-6x+c\)
Câu 2)
\(I=\int ^{1}_{0}(x+\sin ^2x)\cos x dx=\int ^{1}_{0}x\cos xdx+\int ^{1}_{0}\sin^2x\cos xdx\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=x\\ dv=\cos xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=dx\\ v=\sin x\end{matrix}\right.\Rightarrow \int x\cos xdx=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+c\)
\(\Rightarrow \int ^{1}_{0} x\cos xdx=\sin 1+\cos 1-1\)
Còn \(\int ^{1}_{0}\sin^2x\cos xdx=\int ^{1}_{0}\sin ^2xd(\sin x)=\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|\frac{\sin ^3x}{3}=\frac{\sin^31}{3}\)
\(\Rightarrow I=-1+\sin 1+\cos 1+\frac{\sin ^3 1}{3}\approx 0,0173\)
Câu 3:
Đối với \(\int xe^{2x}dx\)
\(\left\{\begin{matrix} u=x\\ dv=e^{2x}dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=dx\\ v=\int e^{2x}dx=\frac{e^{2x}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \int xe^{2x}=\frac{1}{2}xe^{2x}-\frac{1}{2}\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}xe^{2x}-\frac{1}{4}e^{2x}+c\)
Đối với \(\int x\sqrt[3]{x+1}dx=\int \sqrt[3]{(x+1)^4}dx-\int \sqrt{x+1}dx=\frac{3(x+1)^\frac{7}{3}}{7}-\frac{3}{4}(x+1)^{\frac{4}{3}}+c\)
\(\Rightarrow \int x\sqrt[3]{x+1}dx=\frac{3(x+1)^{\frac{4}{3}}(4x-3)}{28}\)
Do đó mà \(\int x(e^{2x}-\sqrt[3]{x+1})dx=\frac{1}{2}xe^{2x}-\frac{1}{4}e^{2x}+\frac{3(x+1)^{\frac{4}{3}}(4x-3)}{28}+c\)
Tính các tích phân sau bằng phương pháp tính tích phân từng phần :
a) \(\int\limits^{e^4}_1\sqrt{x}\ln xdx\)
b) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_{\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{xdx}{\sin^2x}\)
c) \(\int\limits^{\pi}_0\left(\pi-x\right)\sin xdx\)
d) \(\int\limits^0_{-1}\left(2x+3\right)e^{-x}dx\)
Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính :
a) \(\int x\ln\left(1+x\right)dx\)
b) \(\int\left(x^2+2x-1\right)e^xdx\)
c) \(\int x\sin\left(2x+1\right)dx\)
d) \(\int\left(1-x\right)\cos xdx\)
a) Áp dụng phương pháp tìm nguyên hàm từng phần:
Đặt u= ln(1+x)
dv= xdx
=> ,
Ta có: ∫xln(1+x)dx =
=
b) Cách 1: Tìm nguyên hàm từng phần hai lần:
Đặt u= (x2+2x -1) và dv=exdx
Suy ra du = (2x+2)dx, v = ex
. Khi đó:
∫(x2+2x - 1)exdx = (x2+2x - 1)exdx - ∫(2x+2)exdx
Đặt : u=2x+2; dv=exdx
=> du = 2dx ;v=ex
Khi đó:∫(2x+2)exdx = (2x+2)ex - 2∫exdx = ex(2x+2) – 2ex+C
Vậy
∫(x2+2x+1)exdx = ex(x2-1) + C
Cách 2: HD: Ta tìm ∫(x2-1)exdx. Đặt u = x2-1 và dv=exdx.
Đáp số : ex(x2-1) + C
c) Đáp số:
HD: Đặt u=x ; dv = sin(2x+1)dx
d) Đáp số : (1-x)sinx - cosx +C.
HD: Đặt u = 1 - x ;dv = cosxdx
tính nguyên hàm (sd pp nguyên hàm từng phần)
1. \(\int\dfrac{x}{\sin^2x}dx\)
2. \(\int\dfrac{x+1}{e^x}dx\)
3. \(\int x.\sin x.\cos xdx\)
4. \(\int e^x\sin xdx\)
1. Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x\\dv=\dfrac{dx}{sin^2x}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=-cotx\end{matrix}\right.\)
Do đó I= \(-x.cotx+\int cotxdx\)= \(-xcotx+ln\left|sinx\right|\)
2. Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x+1\\dv=\dfrac{dx}{e^x}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=-e^{-x}\end{matrix}\right.\)
Do đó I= \(-\left(x+1\right)e^{-x}+\int e^{-x}dx\)=\(-\left(x+1\right)e^{-x}-e^{-x}\)
=\(-\left(x+2\right)e^{-x}\)
3. Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x\\dv=sinx.cosx.dx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\dv=\dfrac{1}{4}sin2x.d\left(2x\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=\dfrac{-cos2x}{8}\end{matrix}\right.\), do đó I= \(\dfrac{-x.cos2x}{8}+\int\dfrac{cos2x}{8}dx\)
=\(\dfrac{-x.cos2x}{8}+\int\dfrac{cos2x}{16}d\left(2x\right)\)= \(\dfrac{-x.cos2x}{8}+\dfrac{sin2x}{32}\)
Cho ∫ 1 2 f ( x 2 + 1 ) x d x = 2 . Khi đó I = ∫ 2 5 f ( x ) d x bằng:
A. 2
B. 1
C. -1
D. 4
Cho ∫ 1 2 f ( x 2 + 1 ) x d x = 2 . Khi đó I = ∫ 2 5 f ( x ) d x bằng
A. 2.
B. 1.
C. -1.
D. 4.
Chọn D.
Đặt t = x 2 + 1 → d t = 2 x d x , x = 1 → t = 2 x = 2 → t = 5
Mọi người làm nhanh hộ e với ạ, T7 e nộp r
Bài 1.
Tính:
a. x2(x–2x3) b. (x2+ 1)(5–x) c. (x–2)(x2+ 3x–4) d. (x–2)(x–x2+ 4)
e. (x2–1)(x2+ 2x) f. (2x–1)(3x + 2)(3–x) g. (x + 3)(x2+ 3x–5)
h (xy–2).(x3–2x–6) i. (5x3–x2+ 2x–3).(4x2–x + 2)
Bài 2.
Tính:
a. (x–2y)2 b. (2x2+3)2 c. (x–2)(x2+ 2x + 4) d. (2x–1)2
Bài 3: Rút gọn biểu thức
a.(6x + 1)2+ (6x–1)2–2(1 + 6x)(6x–1)
b. x(2x2–3)–x2(5x + 1) + x2.
c. 3x(x–2)–5x(1–x)–8(x2–3)
Bài 4: Tìm x, biết
a. (x–2)2–(x–3)(x + 3) = 6.
b. 4(x–3)2–(2x–1)(2x + 1) = 10
c. (x–4)2–(x–2)(x + 2) = 6.
d. 9 (x + 1)2–(3x–2)(3x + 2) = 10
Bài 5:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 1–2y + y2
b. (x + 1)2–25
c. 1–4x2
d. 8–27x3
e. 27 + 27x + 9x2+ x3
f. 8x3–12x2y +6xy2–y3
g. x3+ 8y3
Bài 6:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 3x2–6x + 9x2
b. 10x(x–y)–6y(y–x)
c. 3x2+ 5y–3xy–5x
d. 3y2–3z2+ 3x2+ 6xy
e. 16x3+ 54y3
f. x2–25–2xy + y2
g. x5–3x4+ 3x3–x2
.
Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử
a. 5x2–10xy + 5y2–20z2
b. 16x–5x2–3
c. x2–5x + 5y–y2
d. 3x2–6xy + 3y2–12z2
e. x2+ 4x + 3
f. (x2+ 1)2–4x2
g. x2–4x–5
Bài 5:
a. 1 - 2y + y2
= (1 - y)2
b. (x + 1)2 - 25
= (x + 1)2 - 52
= (x + 1 - 5)(x + 1 + 5)
= (x - 4)(x + 6)
c. 1 - 4x2
= 12 - (2x)2
= (1 - 2x)(1 + 2x)
d. 8 - 27x3
= 23 - (3x)3
= (2 - 3x)(4 + 6x + 9x2)
e. (đề hơi khó hiểu ''x3'' !?)
g. x3 + 8y3
= (x + 2y)(x2 - 2xy + y2)
Bài 2: Tính
a) ( x4 - x3 + x2 + 3x ) : ( x2 - 2x + 3 )
b) ( 21x2y3 ) : ( 6xy)
c) x2- 36 : ( 2x + 10) ( 6 - x )
d) 2x2 ( 3x - 5 )
e) ( 12x3y + 18x2y) : 2xy
g) ( x2 + 2x + 1 ) : ( x + 1 )
h) 5y ( 2y - 1 ) - ( 3y + 2 ) ( 3 - 3y)
i) ( 6x3 - x2 + 5x - 1 ) : ( 2x - 1 )
`@` `\text {Ans}`
`\downarrow`
*Máy tớ cam hơi mờ, cậu thông cảm ._.*
Cậu viết lại rõ đề câu c, nhé.
Biết ∫ f x d x = - x 2 + 2 x + C . Tính ∫ f - x d x
A. x 2 + 2 x + C '
B. - x 2 + 2 x + C '
C. - x 2 - 2 x + C '
D. x 2 - 2 x + C '