a)\(A=\frac{2n-5}{n+3}=\frac{2n+6-11}{n+3}=\frac{2n+6}{n+3}-\frac{11}{n+3}=2-\frac{11}{n+3}\)

\(2\in Z\Rightarrow\)Để \(A=2-\frac{11}{n+3}\in Z\)thì \(\frac{11}{n+3}\in Z\Rightarrow n+3\inƯ\left(11\right)\)

\(Ư\left(11\right)=\left(\pm1;\pm11\right)\Rightarrow n+3=\left(\pm1;\pm11\right)\)

*\(n+3=1\Rightarrow n=-2\)

*\(n+3=-1\Rightarrow n=-4\)

*\(n+3=11\Rightarrow n=8\)

*\(n+3=-11\Rightarrow n=-14\)

\(\frac{2n+9}{n-2}=\frac{2n-4+13}{n-2}=\frac{2.\left(n-2\right)+13}{n-2}=2+\frac{13}{n-2}\)\(\left(ĐKXĐ:n\ne2\right)\)

Để \(\frac{2n+9}{n-2}\)nguyên thì \(2+\frac{13}{n-2}\)nguyên

Mà \(2\in Z\)nên để \(2+\frac{13}{n-2}\)nguyên thì \(\frac{13}{n-2}\)nguyên

Để \(\frac{13}{n-2}\)nguyên thì \(13⋮n-2\)

\(\Leftrightarrow n-2\inƯ\left(13\right)\)

\(\Leftrightarrow n-2\in\left\{-13;-1;1;13\right\}\)

\(\Leftrightarrow n\in\left\{-11;1;3;15\right\}\)(Đều thỏa mãn ĐK)

Vậy.......

`Answer:`

\(\frac{2n+9}{n-2}=\frac{2n-4+13}{n-2}=2+\frac{13}{n-2}\)

Để cho phân số đạt giá trị nguyên thì `\frac{13}{n-2}` nguyên

\(\Rightarrow13⋮n-2\Rightarrow n-2\inƯ\left(13\right)=\left\{\pm1;\pm13\right\}\Rightarrow n\in\left\{3;1;-11;15\right\}\)

Để \(\frac{9}{n-1}\)nguyên thì n-2 \(\in\)Ư(9)=\(\left\{1;3;9;\right\}\)

=>n\(\in\)\(\left\{3;5;11\right\}\)

Để \(\frac{n^2+n+2}{n+1}\) có giá trị là số nguyên thì \(\left(n^2+n+2\right)⋮\left(n+1\right)\)

Ta có : n² + n + 2 = n x n + n + 2 = n x ( n + 1 ) + 2

=> n x ( n + 1 ) + 2 chia hết cho n + 1

Ta thấy : n x ( n + 1 ) chia hết cho n + 1

=> 2 chia hết cho n + 1

Hay \(\left(n+1\right)\inƯ_2\)

Ư₍₂₎ = { 1 ; -1 ; 2 ; -2 }

Ta có bảng sau :

Vậy để A có giá trị là số nguyên thì \(n\in\) { 0 ; -2 ; 1 ; -3 }

Để \(A\in Z\)thì \(n^2+n+2⋮n+1\)

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)+2⋮n+1\)

\(\Rightarrow2⋮n+1\)

\(\Rightarrow n+1\left\{-2;2;-1;1\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{-3;1;-2;0\right\}\)

Để A nguyên thì n²+n+2 phải chia hết cho n +1

n²+n+2 = n³+2

Vì n³+2 chia hết cho n +1 => n³+2  - n+1 chia hết cho n+1

                                       => n²+1 chia hết cho n+1

a) Ta có:

Để A là phân số <=> n + 4 \(\ne\)0 <=> n \(\ne\)-4

b) Với : + )n = 1 => \(A=\frac{1+5}{1+4}=\frac{6}{5}\)

+) n = -1 => \(A=\frac{-1+5}{-1+4}=\frac{4}{3}\)

c) Ta có: \(A=\frac{n+5}{n+4}=\frac{\left(n+4\right)+1}{n+4}=1+\frac{1}{n+4}\)

Để A \(\in\)Z <=> 1 \(⋮\)n + 4

      <=> n + 4 \(\in\)Ư(1) = {1; -1}

Lập bảng :

Vậy ....

1a) Để A là phân số thì n \(\ne\)- 4 ; n 

b) + Khi n = 1 

=> \(A=\frac{n+5}{n+4}=\frac{1+5}{1+4}=\frac{6}{5}\)

+ Khi n = -1 

=> \(A=\frac{n+5}{n+4}=\frac{-1+5}{-1+4}=\frac{4}{3}\)

 c) Để \(A\inℤ\)

=> \(n+5⋮n+4\)

=> \(n+4+1⋮n+4\)

Ta có : Vì \(n+4⋮n+4\)

=> \(1⋮n+4\)

=> \(n+4\inƯ\left(1\right)\)

=> \(n+4\in\left\{\pm1\right\}\)

Lập bảng xét các trường hợp

Vậy \(A\inℤ\Leftrightarrow n\in\left\{-3;-5\right\}\)

Để \(\frac{n+9}{n-6}\inℕ\)

\(\Rightarrow n+9⋮n-6\)

\(\Rightarrow n-6+15⋮n-6\)

Ta có : Vì \(n-6⋮n-6\)

\(\Rightarrow15⋮n-6\)

\(\Rightarrow n-6\inƯ_{\left(15\right)}\)

\(\Rightarrow n-6\in\left\{1;3;5;15\right\}\)

Lập bảng xét các trường hợp : 

Vậy \(\frac{n+9}{n-6}\inℕ\Leftrightarrow n\in\left\{7;9;11;21\right\}\)

Để \(\frac{n+9}{n-6}\)là số nguyên 

\(\Rightarrow n+9⋮n-6\)

\(\Rightarrow n-6+15⋮n-6\)

Ta có :\(n-6⋮n-6\)

\(\Rightarrow15⋮n-6\)

\(\Rightarrow n-6\inƯ\left(15\right)=\left\{\mp1;\mp3;\mp5;\mp15\right\}\)