Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Đường tròn tâm (I) đường kính HB cắt AB ở D, đường tròn tâm (J) đường HC cắt AC ở E
a) CM AD.AB=AE.AC
b) CM DE là tiếp tuyến chung của (I) và (J)
cho tam giác abc vuông tại A , AB <AC , nội tiếp đường tròn o , BC là đường kính , AH là đường cao . Gọi I và K lần lượt là tâm đường tròn của BH và CH . Tâm K cắt AC tại E , Tâm I cắt AB ở D
a) cm : DE=AH
B ) DE là tiếp tuyến chung của Đường tròn tâm I VÀ K
c ) \(\frac{AB^3}{AC^3}=\frac{BD}{CE}\)
D ) tìm điều kiện của tam giác ABC để HB+HC=2DE
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Đường tròn tâm $I$ đường kính $BH$ cắt $AB$ tại $D$. Đường tròn $(J)$ đường kính $CH$ cắt $AC$ tại $E$. Chứng minh $DE$ là tiếp tuyến chung của đường tròn $(I)$ và đường tròn $(J)$.
Để chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I đường kính BH ta chỉ cần chứng minh ID\perp DEID⊥DE .
Vì D, E lần lượt thuộc đường tròn đường kính BH và HC nên ta có: \widehat{BDH}=\widehat{CEH}=90^oBDH=CEH=90o.
Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật.
Gọi O là giao điểm của AH và DE, khi đó ta có OD = OH = OE = OA.
Suy ra tam giác ODH cân tại O vì vậy \widehat{ODH}=\widehat{OHD}ODH=OHD.
Ta cũng có tam giác IDH cân tại I suy ra \widehat{IDH}=\widehat{IHO}IDH=IHO.
Suy ra \widehat{IDO}+\widehat{OHD}=\widehat{IHD}+\widehat{IHA}=90^oIDO+OHD=IHD+IHA=90o \Leftrightarrow\widehat{IDO}=90^o⇔IDO=90o hay DI \perp⊥ DE.
Ta có DI\perp DE\left(D\in\left(I\right)\right)DI⊥DE(D∈(I)) suy ra DE tiếp xúc với (I) tại D.
Chứng minh tương tự ta cũng có DE tiếp xúc với (J) tại E.
Vậy DE là tiếp tuyến chung của đường tròn (I) và đường tròn (J).
Vì D, E lần lượt thuộc đường tròn đường kính BH và HC nên ta có : góc BHD = góc CEH=90°
=> tứ giác ADHE là hình chữ nhật
Gọi O là giao điểm của AH và DE khi đó ta có OD=OE=OA
=> Tam giác ODH cân tại O vì vậy góc ODH = góc OHD
Ta cũng có tam giác IDH cân tại I suy ra góc IDH= góc IHO
=> góc IDO + góc OHD = góc IHD + góc IHA=90° <=> góc IDO = 90° hay DI ⊥ DE
ta có DI ⊥ DE ( D ∈ I) => DE tiếp xúc với (I) tại D
Ta có DE tiếp xúc với (J) tại E
Vậy DE là tiếp tuyến chung của đường tròn (I) và đường tròn (J)
vì D,E lần lượt thuộc đương tròn đương kính BH và CH nên ta có góc BDH =CEH =90' ⇒tứ giác ADHE là hình chữ nhật
gọi O là giao điểm của AH và DE khi đó ta có OD=OH=OE=OA
⇒ΔODH cân tại O vì vậy gcos ODH=OHD
ta cũng có tam giác IDH caantaij I suy ra góc IHD =IHO
suy ra góc IDO+OHD =IHD +IHA = 90'
⇒góc IDO =90' HAY DI vuông góc với DE
suy ra DE tiếp xúc với I tạo D và DE tiếp xúc với J tại E
vậy ED là tiếp tuyến chung của 2 đương tròn J và I
Tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB tại E . Đường tròn tâm J đường kính HC cắt AC tại F . Chứng minh
a AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn tâm J và I tại H
b EF là tiếp tuyến của đường tròn tâm I tại E , tiếp tuyến của đường tròn tâm J tại F
Tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB tại E . Đường tròn tâm J đường kính HC cắt AC tại F . Chứng minh
a AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn tâm J và I tại H
b EF là tiếp tuyến của đường tròn tâm I tại E , tiếp tuyến của đường tròn tâm J tại F
cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Kẻ HD vuông góc AB, HE AC . Vẽ các đường tròn tâm J đườn kính AB và tâm I đường kính AC chứng minh: a, AD.AB=Ae.Ac
b, Tia HD cắt đường tròn J ở M, tia HE cắt đường tròn I tại N
CM: M,A,N thẳng hàng
3, CHỨNG MINH MN LÀ TIẾP TUYẾN ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC ABC
4, GIẢ SỬ M , J, I THẲNG HÀNG ..TÍNH SIN ABC
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, vẽ đường tròn tâm I đươngf kính BH cắt AB tại D.Vẽ đường tròn tâm K đường kính CH cắt AC tại E. CMR:
a, AD.AB=AE.AC
b,DE là tiếp tuyến chung của đường tròn tâm I và tâm K
a: Xét (I) có
ΔHMB nội tiếp
HB là đường kính
Do đó: ΔHMB vuông tại M
Xét (K) có
ΔCNH nội tiếp
CH là đường kính
=>ΔCNH vuông tại N
Xét tứ giác AMHN có
góc AMH=góc ANH=góc MAN=90 độ
nên AMHN là hình chữ nhật
b: góc NMI=góc NMH+góc IMH
=góc NAH+góc IHM
=góc CAH+góc HCA=90 độ
=>NM là tiếp tuyến của (I)
góc KNM=góc KNH+góc MNH
=góc KHN+góc MAH
=góc BAH+góc B=90 độ
=>MN là tiếp tuyến của (K)
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao. Đường tròn tâm E bán kính BH cắt cạnh AB ở M và đường tròn tâm I đường kính CH cắt cạnh AC ở N.
a, CM tứ giác AMHN là hình chữ nhật
b, Cho bt : AB=6 cm, AC= 8cm. Tính độ dài đoạn thẳng MN
c, CM rằng MN là tiếp tuyến của đường tròn tâm E
a:
Xét đường tròn đường kính HB có
ΔHMB nội tiếp đường tròn
HB là đường kính
Do đó: ΔHMB vuông tại M
Xét đường tròn đường kính HC có
ΔHNC nội tiếp đường tròn
HC là đường kính
Do đó: ΔHNC vuông tại N
Xét tứ giác AMHN có
\(\widehat{NAM}=\widehat{ANH}=\widehat{AMH}=90^0\)
nên AMHN là hình chữ nhật
b: \(BC=\sqrt{6^2+8^2}=10\)(cm)
=>AH=6*8/10=4,8(cm)
=>MN=4,8(cm)
c: góc EMN=góc EMH+góc NMH
=góc EHM+góc NAH
=góc HAC+góc HCA=90 độ
=>MN là tiếp tuyến của (E)