Ta chứng minh

\(a+b\ge\sqrt[3]{ab}\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^2\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\ge0\)(đúng )

Áp đụng vào bài toán ta được

\(\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}\)

\(\le\frac{1}{\sqrt[3]{xy}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\right)+1}+\frac{1}{\sqrt[3]{yz}\left(\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)+1}+\frac{1}{\sqrt[3]{zx}\left(\sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{x}\right)+1}\)
\(=\frac{\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}+\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}+\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}=1\)

đặt x=a/b , y=b/c , z=c/a 

Giải:

Đặt \(x=a^3;y=b^3;z=c^3\left(abc=1\right)\) ta có:

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge\left(a+b\right)ab\) do \(a+b>0\) và \(a^2+b^2-ab\ge ab\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+1\ge\left(a+b\right)ab+abc=ab\left(a+b+c\right)>0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)

Tương tự ta có:

\(\frac{1}{b^3+c^3+1}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}\)

\(\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)

Cộng theo vế ta có:

\(\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\)

\(\le\frac{1}{\left(a+b+c\right)}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=\frac{1}{\left(a+b+c\right)}\left(c+a+b\right)=1\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1

chờ x,y,z dương thỏa mãn ( x + y lớn hơn hoặc bằng  3)CMR : x + y + 1/(2x) + 2/y lớn hơn hoặc bằng 9Giúp mình với, mình đang rất gấp, sẽ hậu tạ sau nha, bạn muốn gì cũng được. OK!!!!

Ý quên là " lớn hơn hoặc bằng 9/2"

a: A=2,5*1,6+4,8=4+4,8=8,8

b: A=20,3

=>2,5y+4,8=20,3

=>2,5y=15,5

=>y=6,2

<=>a^2+b^2>=2ab

=> bdt duoc cminh, dau = <=> a=b

áp dụng bất đẳng thức cô si là ra

ĐPCM <=> (a/b + b/a) ab >= 2ab

<=> a^2 + b^2 >= 2ab 

<=> (a-b)^2 >=0 (*)

Vì (*) đúng => ĐPCM đúng

khong co