a) xét tam giác MIA có: MA < MI+IA (bđt tam giác)

                             =>   MA+MB < MI+IA+MB

                              => MA+MB < (MI+MB)+IA 

                             => MA+MB < IB+IA (1)

 b) xét tam giác BIC có: IB < IC+CB (bđt tam giác)

                               => IB+IA < IC+CB+IA

                              => IB+IA < (IC+IA)+CB

                              => IB+IA < CA+CB  (2)

c) từ (1) và (2) => MA+MB < CA+CB

a. Ta có: AB = 6cm, AC = 10cm, BC = 8cm.

+Cạnh AB đối diện với góc C

+Cạnh AC đối diện với góc B

+Cạnh BC đối diện với góc A

Vì AC > BC > AB nên B > A > C

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho 2 bộ số \(\left(\sqrt{ax},\sqrt{by},\sqrt{cz}\right)\) và \(\left(\sqrt{\frac{a}{x}};\sqrt{\frac{b}{y}};\sqrt{\frac{c}{z}}\right)\)có:

\(\left(ax+by+cz\right)\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)\ge\left(\sqrt{ax}.\sqrt{\frac{a}{x}}+\sqrt{by}.\sqrt{\frac{b}{y}}+\sqrt{cz}.\sqrt{\frac{c}{z}}\right)^2\)

Suy ra \(\left(ax+by+cz\right)\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)(1)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\), tức là M cách đều BC,CA,AB hay M là tâm nội tiếp \(\Delta\)ABC

Ta có \(2S_{ABC}=2S_{BMC}+2S_{CMA}+2S_{AMB}=ax+by+cz\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2S_{ABC}}=const\)

Vậy Min \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2S_{ABC}}\). Đạt được khi M là tâm nội tiếp \(\Delta\)ABC.