Ta thấy: \(\frac{a^2}{b}-2a+b=\frac{\left(a-b\right)^2}{b}\)

\(\sqrt{a^2-ab+b^2}-\frac{a+b}{2}=\frac{a^2-ab+b^2-\frac{\left(a+b\right)^2}{b}}{\sqrt{a^2-ab+b^2}+\frac{a+b}{2}}=\frac{3\left(a-b\right)^2}{4\sqrt{a^2-ab+b^2}+2a+2b}\)

Bất đẳng thức tương đương với:

\(\frac{\left(a-b\right)^2}{b}+\frac{\left(b-c\right)^2}{c}+\frac{\left(c-a\right)^2}{c}\ge\)

\(\frac{3\left(a-b\right)^2}{4\sqrt{a^2+b^2-2ab}+2\left(a+b\right)}+\frac{3\left(b-c\right)^2}{4\sqrt{b^2+c^2-bc}+2\left(b+c\right)}+\frac{3\left(c-a\right)^2}{b\sqrt{c^2+a^2-ca}+2\left(c+a\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left[\frac{1}{b}-\frac{3}{4\sqrt{a^2+b^2-2ab}+2\left(a+b\right)}\right]+\left(b-c\right)^2\left[\frac{1}{c}-\frac{3}{4\sqrt{b^2+c^2-2bc}+2\left(b+c\right)}\right]\)

\(+\left(c-a\right)^2\left[\frac{1}{c}-\frac{3}{4\sqrt{c^2+a^2-ca}+2\left(c+a\right)}\right]\ge0\)

Ta đặt:

\(A=\frac{1}{b}-\frac{3}{4\sqrt{a^2+b^2-2ab}+2\left(a+b\right)}\)

\(B=\frac{1}{c}-\frac{3}{4\sqrt{b^2+c^2-2bc}+2\left(b+c\right)}\)

\(C=\frac{1}{c}-\frac{3}{4\sqrt{c^2+a^2-ca}+2\left(c+a\right)}\)

Chứng mình sẽ hoàn tất nếu ta chứng minh được A,B,C\(\ge0\), vậy:

\(A=\frac{1}{b}-\frac{3}{4\sqrt{a^2+b^2-2ab}+2\left(a+b\right)}=\frac{4\sqrt{a^2+b^2-2ab}+2a+b}{4\sqrt{a^2+b^2-2ab}+2\left(a+b\right)}\ge0\)

\(B=\frac{1}{c}-\frac{3}{4\sqrt{b^2+c^2-2bc}+2\left(b+c\right)}=\frac{4\sqrt{b^2+c^2-2bc}+2b+c}{4\sqrt{b^2+c^2-2bc}+2\left(b+c\right)}\ge0\)

\(C=\frac{1}{c}-\frac{3}{4\sqrt{c^2+a^2-ca}+2\left(c+a\right)}=\frac{4\sqrt{c^2+a^2-ca}+2c+a}{4\sqrt{c^2+a^2-ca}+2\left(c+a\right)}\ge0\)

Vậy biểu thức đã được chứng mình.

Áp dụng cách đánh giá quen thuộc 

\(3\left(\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}\right)\ge\left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\right)^2\)

Hay \(\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\)

Ta cần chỉ ra được \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

Ta đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, Cần chú ý đến \(a^2+b^2+c^2\). Ta được

\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}=\frac{a^4}{a^2b}+\frac{b^4}{b^2c}+\frac{c^4}{c^2a}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\)

Ta cần chứng minh được

\(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\ge\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

Hay \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2\)

Dễ thấy \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

Do đó \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\ge3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki 

\(\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2\)

Do đó ta được \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2\)

Bài toán được chứng minh :3

Để ý theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

\(\left(a+b+c\right)^2\) sẽ nhỏ hơn hoặc bằng với:

\(\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\right)\left(a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ca}+c\sqrt{c^2+8ab}\right)\)

Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:

\(a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ca}+c\sqrt{c^2+8ab}\)

\(=\sqrt{a}\sqrt{a^3+8abc}+\sqrt{b}\sqrt{b^3+8abc}+\sqrt{c}\sqrt{c^3+8abc}\)sẽ nhỏ hơn hoặc bằng với:

\(\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)+24abc}\)

Ta chứng minh được \(\left(a+b+c\right)^3\ge a^3+b^3+c^3+24abc\)nên ta được:

\(a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ca}+c\sqrt{c^2+8ab}\le\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\right)\left(a+b+c\right)^2\)

Hay \(\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\ge1\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

Chú ý: \(\left(a^2+2b^2+c^2\right)\left(2^2+1^2+2^2\right)\ge\left(2a+2b+2c\right)^2\)

\(\Rightarrow a^2+2b^2+c^2\ge\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{9}\Rightarrow\sqrt{a^2+2b^2+c^2}\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\)

Tương tự: \(\sqrt{b^2+2c^2+a^2}\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\); \(\sqrt{c^2+2a^2+b^2}\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\)

Thay vào ta có: \(VT\le\frac{3\left(3a+b+3b+c+3c+a\right)}{2\left(a+b+c\right)}=6\)(qed)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c 

Is that true?

Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta được:

\(\left(\text{Σ}_{cyc}\frac{3a+b}{\sqrt{a^2+2b^2+c^2}}\right)^2\le3\left(\text{Σ}_{cyc}\frac{\left(3a+b\right)^2}{a^2+2b^2+c^2}\right)\)

Mặt khác cũng theo bđt Bunhiacopxki dạng phân thức, ta được:

\(\frac{\left(3a+b\right)^2}{a^2+2b^2+c^2}\le\frac{9a^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2}=\frac{9a^2}{a^2+b^2+c^2}+1\)

Hoàn toàn tương tự, ta có:

\(\frac{\left(3b+c\right)^2}{b^2+2c^2+a^2}\le\frac{9b^2}{b^2+c^2+a^2}+1\);\(\frac{\left(3c+a\right)^2}{c^2+2a^2+b^2}\le\frac{9c^2}{c^2+a^2+b^2}+1\)

Cộng từng vế của các bđt trên, ta được:

\(\text{​​}\text{​​}\text{Σ}_{cyc}\frac{\left(3b+c\right)^2}{b^2+2c^2+a^2}\le\text{Σ}_{cyc}\frac{9b^2}{b^2+c^2+a^2}+3=9+3=12\)

Do đó \(\left(\text{Σ}_{cyc}\frac{3a+b}{\sqrt{a^2+2b^2+c^2}}\right)^2\le3\left(\text{Σ}_{cyc}\frac{\left(3a+b\right)^2}{a^2+2b^2+c^2}\right)\le3.12=36\)

Hay \(\left(\text{Σ}_{cyc}\frac{3a+b}{\sqrt{a^2+2b^2+c^2}}\right)\le6\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

ơ đang chờ mấy bạn top bxh vô trả lời mà hỏng thấy đou

hộ mình với:(

= mìnk ko biết

sorry

1,

\(\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\frac{2}{2}=1\left(Q.E.D\right)\)

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{a}{a^3}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}{a^3+b^2}\ge\frac{4\sqrt{a}}{a^3+b^2}\)

Cứ tiếp tục như vậy ta sẽ có đpcm. dấu = xảy ra khi a=b=c=1