x+y+z=45

k cho mình đi

\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+x\right)^2}{y+z+z+x+x+y}=\frac{x+y+x}{2}=1\)

Dấu ' =' xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)

đề lại thiếu rồi bạn ơi Cm cái j

lớn hơn hoặc bằng ba căn ba nhé bạn. sorry nha, minh quên mất

nhỏ hơn hoặc bằng 1( đề chính xác đấy nhé)

bé hơn hoặc bằng 15 nha bn

bé hơn hoặc bằng 11 nha bn

bn làm ko đc thì đừng ns

thầy mik làm đc ra rồi

nhưng bắt mik làm lại thôi bn à

ta có:

\(\left(x+1\right)\left(x-3\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-3\le0\)

\(\Leftrightarrow x^2\le2x+3\)

Tương tự:

** Bạn lưu ý lần sau viết đề bằng công thức toán!

Đề cần sửa thành $\leq \frac{4}{3}$

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{2x^2+y^2+z^2}=\frac{1}{(x^2+z^2)+(x^2+y^2)}\leq \frac{1}{2xy+2xz}=\frac{1}{2}.\frac{1}{xy+xz}\leq \frac{1}{8}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\right)\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế suy ra:

\(\sum \frac{1}{2x^2+y^2+z^2}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\right)=\frac{x+y+z}{4xyz}\) $(1)$

Mặt khác:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4\Rightarrow 4xyz=xy+yz+xz$

$\Rightarrow 16x^2y^2z^2=(xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z)$ (theo BĐT AM-GM)

$\Rightarrow x+y+z\leq \frac{16}{3}xyz (2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow \sum \frac{1}{2x^2+y^2+z^2}\leq \frac{4}{3}$ 

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{3}{4}$

\(\dfrac{1}{2x^2+y^2+z^2}=\dfrac{1}{x^2+y^2+x^2+z^2}\le\dfrac{1}{2xy+2xz}\le\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}\right)\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{x^2+2y^2+z^2}\le\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}\right)\) ; \(\dfrac{1}{x^2+y^2+2z^2}\le\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{yz}\right)\)

Cộng vế:

\(VT\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\right)\le\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2=\dfrac{4}{3}\)

Đề bài sai

a)

b)Từ \(xyz=1\Rightarrow x=\frac{1}{zy};y=\frac{1}{xz};z=\frac{1}{xy}\)

\(M=\frac{z^2y^2}{x\left(z+y\right)}+\frac{x^2z^2}{y\left(x+z\right)}+\frac{x^2y^2}{z\left(x+y\right)}\)

\(\ge\frac{\left(xy+yz+xz\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}=\frac{xy+yz+xz}{2}\)(Bđt Cauchy-Schwarz)

\(\ge\frac{3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}}{2}=\frac{3}{2}\)(Bđt Cosi)

Dấu = khi \(x=y=z=1\)

a) Gọi 5 số là: \(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4\)

Lấy \(T_0=a_0\)

      \(T_1=a_0+a_1\)

     \(T_2=a_0+a_1+a_2\)

    \(T_3=a_0+a_1+a_2+a_3\)

    \(T_4=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4\)

Trong 5 số: \(T_0,T_1,T_2,T_3,T_4\) có 2 trường hợp sau xảy ra:

TH1: Tồn tại 1 số \(T_i\) chia hết cho 5 => Điều phải chứng minh

TH2: Không có số nào chia hết cho 5 => Trong 5 số đó có 2 số khi chia cho 5 có cùng một số dư (theo nguyên lí Direchlet, vì 5 số đều không chia hết cho 5 nên khi chia cho 5 sẽ cho 4 số dư là {1, 2, 3,4}). Giả sử \(T_i\) và \(T_j\)(với i < j) chia cho 5 có cùng số dư => Hiệu \(T_j-T_i\) chia hết cho 5. Mà hiệu \(T_j-T_i=a_{i+1}+a_{i+2}+...+a_j\) chia hết cho 5 => Điều phải chứng minh.

\(\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}=1-\frac{1}{x+1}+1-\frac{1}{y+1}+1-\frac{1}{z+1}=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)

vì \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}>=\frac{9}{x+1+y+1+z+1}=\frac{9}{1+3}=\frac{9}{4}\)(bđt svacxo)

\(\Rightarrow3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)< =3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)

dấu = xảy ra khi x=y=z=\(\frac{1}{3}\)

bn xem lại điều kiện 

cái này tôi nháp nhiều lần rồi, với lại đây là đề thi hsg mà, k sai đc đâu