a: \(P=\dfrac{a+3}{a}\cdot\dfrac{a^2-9-6a+18}{\left(a-3\right)\left(a+3\right)}\)

\(=\dfrac{\left(a-3\right)^2}{a\left(a-3\right)}=\dfrac{a-3}{a}\)

b: Để P=-2 thì -2a=a-3

=>-3a=-3

=>a=1

c: Để P nguyên thì a-3 chia hết cho a

=>-3 chia hết cho a

mà a<>0; a<>3; a<>-3

nên \(a\in\left\{1;-1\right\}\)

Bài 1: 

a: Để A là phân số thì n+1<>0

hay n<>-1

b: Để A là số nguyên thì \(n+1\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

hay \(n\in\left\{0;-2;4;-6\right\}\)

a) Với x = 25 thì \(N=\frac{\sqrt{25}+1}{\sqrt{25}}=\frac{6}{5}\)

b) Ta có   \(M=\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2.\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2.\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(M=\frac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

Suy ra \(S=M.N=\frac{2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

b/ Để A là số tự nhiên => 63 chia hết cho 3n + 1

=> 3n + 1 ∈ Ư(63)             (1)

Mà n ∈ N => 3n + 1 ∈ N   (2)

Từ (1) và (2) => 3n + 1 ∈ { 1 ; 7 }

- Nếu 3n + 1 = 1 => 3n = 0 => n = 0

- Nếu 3n + 1 = 7 => 3n = 6 => n = 2

n=2

n=0

phần A. 
63=3.3.7 
A rút gọn được khi 63 và 3n+1 có chung ít nhất một ước 3 hoặc 7 ; nói cách khác để phân số rút gọn được thì 3n+1 phải chia hết cho 3 hoặc 7 
Gọi a thuộc N 
TH1: 3n+1=3a=> n = a - 1/3 loại vì n thuộc N 
TH2: 3n+1=7a=> 3n+1|7 <=> 3(n-2)+7|7 <=>n-2|7=>n-2=0,7,14,28...=>n=2,9,16,30.... 

phần B 
A=63/3n+1 là số tự nhiên khi 63 là ước của 3n+1 => 3n+1=3,7,9,21,63 => n= 2, 20 (loại các trường hợp cho n khác số tự nhiên)

a) ĐKXĐ: \(a\ne0\) ; \(a\ne3\) ; \(a\ne-3\)

b) \(P=\dfrac{\left(a+3\right)^2}{2a^2+6a}.\left(1-\dfrac{6a-18}{a^2-9}\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{\left(a+3\right)^2}{2a\left(a+3\right)}.\left(\dfrac{a^2-9}{a^2-9}-\dfrac{6a-18}{a^2-9}\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{\left(a+3\right)^2}{2a\left(a+3\right)}.\dfrac{\left(a^2-9\right)-\left(6a-18\right)}{a^2-9}\)

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{\left(a+3\right)^2}{2a\left(a+3\right)}.\dfrac{a^2-9-6a+18}{a^2-9}\)

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{\left(a+3\right)^2}{2a\left(a+3\right)}.\dfrac{a^2-6a+9}{a^2-9}\)

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{\left(a+3\right)^2}{2a\left(a+3\right)}.\dfrac{\left(a-3\right)^2}{\left(a-3\right)\left(a+3\right)}\)

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{a+3}{2a}.\dfrac{a-3}{a+3}\)

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{\left(a+3\right)\left(a-3\right)}{2a\left(a+3\right)}\)

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{a-3}{2a}\)

( ko biết đúng hay ko)

c) \(P=\dfrac{a-3}{2a}=0\)

\(\Leftrightarrow a-3=0\)

\(\Leftrightarrow a=3\left(loai\right)\) ( không thỏa mãn điều kiện )

\(P=\dfrac{a-3}{2a}=1\)

\(\Leftrightarrow a-3=2a\)

\(\Leftrightarrow a-3-2a=0\)

\(\Leftrightarrow-a-3=0\)

\(\Leftrightarrow-a=3\)

\(\Leftrightarrow a=-3\left(loai\right)\) ( không thỏa mãn điều kiện )

\(2a^2-6a\) phair ko z hay \(2a^2.6a\)

Gọi UCLN(3n+2,n+1) = d

Ta có: 3n+2 chia hết cho d 

n+1 chia hết cho d => 3n+3 chia hết cho d

=>3n+3-(3n+2) chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=> d = 1

=> UCLN(3n+2,n+1) = 1

Vậy......

ta có A\(=\frac{3n+2}{n+1}=\frac{3\left(n+1\right)-1}{n+1}=\frac{3\left(n+1\right)}{n+1}+\frac{1}{n+1}=3\)\(+\frac{1}{n+1}\)

Do 1 ko chia hết cho bất kì số nào thuộc Z ngoại trừ 1 và -1

=> \(\frac{1}{n+1}\)tối giản => A tối giản