cho a,b,c thỏa mãn 2a+b,2b+c,2c+a là số chính phương.biết một trong ba số chính phương ấy chia hết cho 3 chứng minh rằng (a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3 chia hết cho 81
cho 3 số nguyên a,b,c thỏa mãn 2a+b,2b+c,2c+a đều là số chính phương.biết rằng 1 trong 3 số chính phương trên chia hết cho 3.CMR: P=\(\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3\) chia hết cho 81.
giả sử 2a+b chia hết cho 3 thì 2 số kia chia 3 dư 1 vì nó là scp
nên 2b+c-2c-a = 2b-a-c chia hết cho 3
lại trừ đi 2a+b thì được b-c-3a chia hết cho 3 suy ra b-c chia hết cho 3
tương tự ta có c-a và a-b chia hết cho 3
cậu phân tích p ra sẽ triệt tiêu hết a^3, b^3 , c^3 và còn lại -3ab(a-b)-3bc(b-c)-3ca(c-a) = -3(a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 81
Cho a,b,c là các số nguyên sao xcho 2a+b, 2b+c, 2c+a là các sos chính phương, biết rằng trong 3 số chính phương có 1 số chia hết cho 3. Chứng minh rằng: (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 27
giả sử 2a+b chia hết cho 3 thì 2 số kia chia 3 dư 1 vì nó là scp
nên 2b+c-2c-a = 2b-a-c chia hết cho 3
lại trừ đi 2a+b thì được b-c-3a chia hết cho 3 suy ra b-c chia hết cho 3
tương tự ta có c-a và a-b chia hết cho 3
cậu phân tích p ra sẽ triệt tiêu hết a^3, b^3 , c^3 và còn lại -3ab(a-b)-3bc(b-c)-3ca(c-a) = -3(a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 81
Bài 2 :
a, Cho các số a,b,c,d là các số nguyên dương đôi 1 khác nhau và thỏa mãn :
\(\dfrac{2a+b}{a+b}+\dfrac{2b+c}{b+c}+\dfrac{2c+d}{c+d}+\dfrac{2d+a}{d+a}=6\) . Chứng minh \(A=abcd\) là số chính phương
b, Tìm nguyên a để \(a^3-2a^2+7a-7\) chia hết cho \(a^2+3\)
Cho các số nguyên dương a,b,c thỏa mãn \(\frac{a}{a+2b}=\frac{b}{b+2c}=\frac{c}{c+2a}\)
Chứng minh rằng tổng (a+b+c) chia hết cho 3
ap dung tinh chat ti le thuc ta co a/a+2b=b/b+2c+=c/c+2a=a+b+c/a+2b+b+2c+c+2a=1/3
do đóa/a+2b=b/b+2c=c/c+2a=1/3
hay a chia 3 = a+2b
b chia 3 =b+2c
c chia 3 =c+2a
ma a,b,c la cac so nguyen duong nen a,b,c chia het cho 3
nen a+b+c chia het 3
Bài làm:
Ta có: \(\frac{a}{a+2b}=\frac{b}{b+2c}=\frac{c}{c+2a}=\frac{a+b+c}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{3}\)
Xét: \(\frac{a}{a+2b}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow3a=a+2b\Leftrightarrow2a=2b\Rightarrow a=b\)
Tương tự xét các phân thức còn lại ta chứng minh được: \(a=b=c\)
Thay \(\hept{\begin{cases}b=a\\c=a\end{cases}}\)ta được \(a+b+c=3a⋮3\)
\(\Rightarrow a+b+c⋮3\)
Cho a, b, c là các số nguyên sao cho 2a+b; 2b+c; 2c+a là các số chính phương, biết rằng trong 3 số chính phương nói trên có một số chia hết cho 3. Chứng minh rằng: (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 27.
Lời giải:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} 2a+b=x^2\\ 2b+c=y^2\\ 2c+a=z^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=3(a+b+c)\vdots 3\)
Vì một trong 3 số chính phương kể trên chia hết cho 3 nên giả sử \(2c+a=z^2\vdots 3\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\vdots 3\) (*)
Ta biết rằng một số chính phương khi chia 3 có dư 0 hoặc 1
Do đó Nếu \(x^2,y^2\) đều không chia hết cho 3 thì \(x^2+y^2\) chia 3 có thể có dư là 1,2 (trái với (*))
Từ đây suy ra \(x^2\vdots 3; y^2\vdots 3\).
Vậy \(x^2, y^2,z^2\vdots 3\) (1)
\(\Rightarrow x,y,z\vdots 3\) (do 3 là số nguyên tố)
\(\Rightarrow x^2, y^2,z^2\vdots 9\)
\(\Rightarrow 3(a+b+c)=x^2+y^2+z^2\vdots 9\Rightarrow a+b+c\vdots 3\) (2)
Từ (1);(2) suy ra:
\(\left\{\begin{matrix} x^2-(a+b+c)\vdots 3\\ y^2-(a+b+c)\vdots 3\\ z^2-(a+b+c)\vdots 3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a-c\vdots 3\\ b-a\vdots 3\\ c-b\vdots 3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow (a-c)(b-a)(c-b)\vdots 27\)
\(\Leftrightarrow (a-b)(b-c)(c-a)\vdots 27\)
Ta có đpcm.
Cho các sô a, b, c, d nguyên dương đôi 1 khác nhau và thoả mãn
A= (2a+b) /(a+b) + (2b+c) /(b+c) + (2c+d) /(c+d) + ( 2d+a) /(d+a) =6
chứg minh A là số chính phương
Tìm a nguyên để a^3-2a^2+7a-7 chia hết cho a^2+3
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}=2\Leftrightarrow1-\frac{a}{a+b}-\frac{b}{b+c}+1-\frac{c}{c+d}-\frac{d}{d+a}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{b\left(c-a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{d\left(a-c\right)}{\left(c+d\right)\left(d+a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow b\left(c-a\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)-d\left(c-a\right)\left(c+d\right)\left(d+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow b\left(a+b\right)\left(b+c\right)-d\left(c+d\right)\left(d+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow bad+bd^2+bca+bcd-dab-dac-db^2-cbd=0\)
\(\Leftrightarrow bca-dca+bd^2-db^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-d\right)\left(ca-bd\right)=0\)
\(\Rightarrow ca=bd\Rightarrow abcd=bd^2\)
Biết a; b; c là ba số nguyên thỏa mãn (a3 + b3 + c3) chia hết cho 27. Chứng minh rằng: Cả ba số a; b; c đều chia hết cho 3 hoặc hai trong ba số đó có tổng chia hết cho 9
Mấy bạn giúp dùm mình bài này
Cho các số a,b,c,d nguyên dương đôi một khác nhau và thỏa mãn :
\(\frac{2a+b}{a+b}+\frac{2b+c}{b+c}+\frac{2c+d}{c+d}+\frac{2d+a}{d+a}=6\)
Chứng minh A = abcd là số chính phương
b) Tìm a nguyên để \(a^3-2a^2+7a-7\)chia hết cho \(a^2+3\)
Giúp câu cuối ý
NGUYỄN CẢNH LINH QUÂN
chẳng nhẽ CTV ko đc hỏi!
não có vấn đề à bn :))
Thế chú học có hơn ai không mà sao chú nói vậy đấy ngon làm đi
b) Rút đc
\(22a-7⋮a^2+3\)
\(\Rightarrow\left(22a-7\right)\left(22a+7\right)⋮a^2+3\)
\(\Rightarrow484a^2-49⋮a^2+3\)
Dễ rồi nha nhưng phải thử lại
Cho a,b là số nguyên thỏa mãn: 2a+7 chia hết cho 3.Chứng minh rằng 4a +2b chia hết cho 3