vi a,b,c deu viet dc duoi dang phan so: a/m ;b/m c/m

\(\sqrt{a}\sqrt{b}\sqrt{c}\)cung dc viet  duoi dang phan so:\(\sqrt{\frac{a}{m}}\sqrt{\frac{b}{m}}\sqrt{\frac{c}{m}}\)

a,b,c đều viết được dưới dạng phân số:

\(\frac{a}{x}+\frac{b}{x}+\frac{c}{x}\)=>...

Đặt \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=a\left(a\in Q\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}=a-\sqrt{c}\)

\(\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}=a^2+c-2a\sqrt{c}\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{ab}+2a\sqrt{c}=a^2+c-a-b\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}+a\sqrt{c}=\frac{a^2+c-a-b}{2}\in Q\)

Đặt \(\sqrt{ab}+a\sqrt{c}=r\left(r\in Q\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}=r-a\sqrt{c}\)

\(\Leftrightarrow ab=r^2+a^2c-2ar\sqrt{c}\)

\(\Leftrightarrow2ar\sqrt{c}=r^2+a^2c-ab\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{c}=\frac{r^2+a^2c-ab}{2ar}\in Q\)

Chứng minh tương tự ta cũng có \(\sqrt{b}\in Q;\sqrt{a}\in Q\)

Ta có đpcm.

Giả sử có ít nhất một số là số vô tỉ, giả sử đó là \(\sqrt{a}\)

Ta có: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)là số hữu tỉ

=> Đặt \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=\frac{p}{q}\)với p, q thuộc Z và (p, q)=1

=> \(\sqrt{b}+\sqrt{c}=\frac{p}{q}-\sqrt{a}\)

=> \(b+2\sqrt{bc}+c=\frac{p^2}{q^2}-2\frac{p}{q}\sqrt{a}+a\Leftrightarrow2\sqrt{bc}+\frac{2p}{q}\sqrt{a}=\frac{p^2}{q^2}+a-b-c\)

=> \(2\sqrt{bc}+\frac{2p}{q}\sqrt{a}\)là số hữu tỉ

=> \(\sqrt{bc}+\frac{p}{q}\sqrt{a}\)là số hữu tỉ

=> Đặt \(\sqrt{bc}+\frac{p}{q}\sqrt{a}\)=\(\frac{m}{n}\)với m,n thuộc Z, (m, n)=1

=> \(\sqrt{bc}=\frac{m}{n}-\frac{p}{q}\sqrt{a}\Rightarrow bc=\frac{m^2}{n^2}-\frac{2mp}{nq}\sqrt{a}+\frac{p^2}{q^2}.a\)

=> \(\frac{2mp}{nq}\sqrt{a}=\frac{m^2}{n^2}+\frac{p^2.a}{q^2}-bc\)

=>\(\frac{2mp}{nq}\sqrt{a}\)là số hữu tỉ 

=> \(\sqrt{a}\)là số hữu tỉ  vô lí với điều giả sử

=> Không có số nào là số vô tỉ hay cả ba số là số hữu tỉ

Không biết cách này có đúng không ạ?Em làm thử

                                       Lời giải

Từ đề bài suy ra a,b,c>0.

Ta chứng minh: Nếu a;b;c và \(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\) là số hữu tỉ.Suy ra \(a=\frac{m^2}{n^2};b=\frac{p^2}{q^2};c=\frac{t^2}{f^2}\) (là bình phương của 1 số hữu tỉ).Thật vậy,giả sử: \(a=\frac{m}{n};b=\frac{p}{q};c=\frac{t}{f}\) (không là bình phương của một số hữu tỉ)

Thế thì: \(\sqrt{a}=\sqrt{\frac{m}{n}};\sqrt{b}=\sqrt{\frac{p}{q}};\sqrt{c}=\sqrt{\frac{t}{f}}\).Suy ra

\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=\sqrt{\frac{m}{n}}+\sqrt{\frac{p}{q}}+\sqrt{\frac{t}{f}}\) là số vô tỉ,trái với giả thiết.

Do đó \(a=\frac{m^2}{n^2};b=\frac{p^2}{q^2};c=\frac{t^2}{f^2}\) suy ra \(\sqrt{a}=\frac{m}{n};\sqrt{b}=\frac{p}{q};\sqrt{c}=\frac{t}{f}\) là các số hữu tỉ (đpcm)

Chỗ đầu nhầm tí: Nếu a;b;c và \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\) là số hữu tỉ.Suy ra....

Câu hỏi của ka ding - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath Em xem lbaif ở link này nhé!