\(P=\frac{2018}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2018}{ab+bc+ac}-\frac{2017}{a^2+b^2+c^2}\)

\(P\ge2018\left(\frac{4}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}\right)-\frac{2017}{a^2+b^2+c^2}\)

\(P\ge\frac{2018.8}{\left(a+b+c\right)^2}-\frac{2017}{a^2+b^2+c^2}=\frac{2018.8}{9}-\frac{2017}{a^2+b^2+c^2}\)

Vì \(9=\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)

\(P\ge\frac{2018.8}{9}-\frac{2017}{3}=...\)

P min = ... khi a=b=c = 1

\(P=\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}\)

\(P=\dfrac{a^4}{\sqrt{a^2\left(b^2+3\right)}}+\dfrac{b^4}{\sqrt{b^2\left(c^2+3\right)}}+\dfrac{c^4}{\sqrt{c^2\left(a^2+3\right)}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\sqrt{a^2\left(b^2+3\right)}+\sqrt{b^2\left(c^2+3\right)}+\sqrt{c^2\left(a^2+3\right)}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a^2\left(b^2+3\right)}\le\dfrac{a^2+b^2+3}{2}\\\sqrt{b^2\left(c^2+3\right)}\le\dfrac{b^2+c^2+3}{2}\\\sqrt{c^2\left(a^2+3\right)}\le\dfrac{c^2+a^2+3}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^2\left(b^2+3\right)}+\sqrt{b^2\left(c^2+3\right)}+\sqrt{c^2\left(a^2+3\right)}\le\dfrac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}{2}=\dfrac{9}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\sqrt{a^2\left(b^2+3\right)}+\sqrt{b^2\left(c^2+3\right)}+\sqrt{c^2\left(a^2+3\right)}}\ge\dfrac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{9}=2\)

Vì \(VT\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\sqrt{a^2\left(b^2+3\right)}+\sqrt{b^2\left(c^2+3\right)}+\sqrt{c^2\left(a^2+3\right)}}\)

\(\Rightarrow VT\ge2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}\ge2\)

\(\Leftrightarrow P\ge2\)

Vậy \(P_{min}=2\)

đặt
(với a, b, c > 0). Khi đó phương trình đã cho trở thành:





a = b = c = 2
Suy ra: x = 2013, y = 2014, z = 2015.

a ) \(A=\left|x+1\right|+\left|x+2\right|-2x+3\ge2x+3-2x+3=6\)

Dấu " = " xảy ra khi \(\left(x+2\right)\left(x+1\right)\ge0\)

b ) 

\(B=\left|2x+3\right|+\left|1-2x\right|\ge\left|2x+3+1-2x\right|=4\)

Dấu " = " xảy ra khi \(\left(2x+3\right)\left(1-2x\right)\ge0\)

c )

\(C=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|x-2\right|\ge\left|x-1\right|+\left|2-x\right|\ge\left|x-1+2-x\right|=1\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=2\)

Dự đoán dấu "=" và chọn điểm rơi phù hợp để áp dụng bất đẳng thức Trung bình cộng - Trung bình nhân

bạn viết thế này khó nhìn quá

nhìn hơi đau mắt nhá bạn hoa mắt quá

Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: \(P=\text{​​}\Sigma_{cyc}a\sqrt{b^3+1}=\Sigma_{cyc}a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\Sigma_{cyc}a.\frac{\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)}{2}=\Sigma_{cyc}\frac{ab^2+2a}{2}=\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)Giả sử b là số nằm giữa a và c thì \(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Rightarrow b^2+ac\le ab+bc\)\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+abc+bc^2\le a^2b+2abc+bc^2=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)

Ta sẽ chứng minh: \(b\left(3-b\right)^2\le4\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(b-4\right)\left(b-1\right)^2\le0\)(đúng với mọi \(b\in[0;3]\))

Từ đó suy ra \(\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\le\frac{1}{2}.4+3=5\)

Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị

Bài 1: Đặt \(a=xc,b=yc\left(x,y>0\right)\)thì điều kiện giả thiết trở thành \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\)

Khi đó  \(P=\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}=\frac{x^2+y^2+3\left(x+y\right)}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)\(=\frac{\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)-2xy}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)

Có: \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\Rightarrow xy=3-\left(x+y\right)\)

Đặt \(t=x+y\left(0< t< 3\right)\Rightarrow xy=3-t\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{t^2}{4}\Rightarrow t\ge2\)(do t > 0)

Lúc đó \(P=\frac{t^2+3t-2\left(3-t\right)}{3-t+3t+9}+\frac{3-t}{t}=\frac{t}{2}+\frac{3}{t}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{t}{2}.\frac{3}{t}}-\frac{3}{2}=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)với \(2\le t< 3\)

Vậy \(MinP=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)đạt được khi \(t=\sqrt{6}\)hay (x; y) là nghiệm của hệ \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{6}\\xy=3-\sqrt{6}\end{cases}}\)

Ta lại có \(P=\frac{t^2-3t+6}{2t}=\frac{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}{2t}+1\le1\)(do \(2\le t< 3\))

Vậy \(MaxP=1\)đạt được khi t = 2 hay x = y = 1

3. Áp dụng cô si ta có 

\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c=1\)

Lại có:

 \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)

⇒ P ≥ \(2020.1+1=2021\)

Vậy Pmin = 2021 khi và chỉ khi a = b = c =1/3