Xét \(x,y,z\ne0\)ta có:

\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}< \left(x+y+z\right)^2\)(loại)

Xét trong 3 số có 2 số khác 0. Giả sử là \(x,y\ne0\)

\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}< \left(x+y\right)^2\)(loại)

Vậy trong 3 số x, y, z phải có ít nhất 2 số bằng 0. Thế vô ta được phương trình có vô số nghiệm nguyên.

Ý làm lộn. Đừng coi cái trên nha:

Dễ thấy với 2 trong 3 số bằng 0 thì phương trình có vô số nghiệm.

Giả sử 2 số đó là; x = y = 0 thì ta có:

\(z^2=z^2\) vô số nghiệm nguyên.

Vậy bài toán được chứng minh.

😂 😂 😂 😂

**** đi rồi tớ giải cho

a) \(\left(x^2-2\right)\left(k-1\right)x+2k-5=0\)

\(\Delta=\left(k-1\right)^2-2k+5\)

\(=k^2-4x+6=\left(k-2\right)^2+2>0\)

=> PT luôn có nghiệm với mọi k

\(x^2+y^2+z^2=1980\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left|x\right|\le\sqrt{1980}\\\left|y\right|\le\sqrt{1980}\\\left|z\right|\le\sqrt{1980}\end{cases}}\)

Vì x,y,z nguyên nên \(-44\le x,y,z\le44\)

Mặt khác theo BĐT Bunhiacopxki, ta có \(5940=3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\Rightarrow-77\le x+y+z\le77\)

Mặt khác ta có : \(y^2+z^2\ge\frac{1}{2}\left(y+z\right)^2\) \(\Rightarrow1980-x^2\ge\frac{1}{2}\left(-77-x\right)^2\Leftrightarrow-27\le x\le-25\)

Mình đã thu gọn lại khoảng cách giữa các nghiệm rồi bạn tự làm tiếp nhé :)

LƯU Ý : nghiệm nguyên nên có thể có cả nghiệm dương lẫn nghiệm âm . 

Vì \(x^2,y^2,z^2\)là các số chính phương nên chia 8 dư 0, 1, 4.

Suy ra \(x^2+y^2+z^2\)chia 8 được số dư là một trong các số : 0, 1,,3, 4, 6.

Mà 1999 chia 8 dư 7 

Suy ra phương trình không có nghiệm nguyên