sử dụng tính chất \(a^n+b^n⋮\left(a+b\right)\)vs n lẻ

Lời giải:

TH1: $n$ chẵn

Theo hằng đẳng thức đáng nhớ, với $2015$ lẻ và 2 số $a,b$ nguyên dương bất kỳ thì thì:\(a^{2015}+b^{2015}\vdots a+b\)

Áp dụng vào bài toán:

\(1^{2015}+n^{2015}\vdots n+1\)

\(2^{2015}+(n-1)^{2015}\vdots n+1\)

....

\(\left(\frac{n}{2}\right)^{2015}+\left(\frac{n}{2}+1\right)^{2015}\vdots n+1\)

\(\Rightarrow 1^{2015}+2^{2015}+...+n^{2015}\vdots n+1\)

\(\Rightarrow A=2(1^{2015}+2^{2015}+...+n^{2015})\vdots n+1\)

------------

Mặt khác, ta cũng có:

\(2[1^{2015}+(n-1)^{2015}]\vdots n\)

\([2^{2015}+(n-2)^{2015}]\vdots n\)

......

\(2\left(\frac{n}{2}\right)^{2015}=2\left(\frac{2k}{2}\right)^{2015}=2k^{2015}=\vdots (2k=n)\)

\(\Rightarrow 2(1^{2015}+2^{2015}+...+(n-1)^{2015})\vdots n\)

\(\Rightarrow A=2(1^{2015}+2^{2015}+...+(n-1)^{2015}+n^{2015})\vdots n\)

Vậy $A\vdots n$ và $A\vdots (n+1)$. Mà $(n,n+1)=1$ nên $A\vdots n(n+1)$

TH2: $n$ lẻ

Hoàn toàn tương tự, ghép cặp hợp lý ta cũng thu được $A\vdots n(n+1)$

Vậy ta có đpcm.

tự túc là hạnh phúc

em mới học lp 5 thôi ạ!

chu nho the ai doc duoc

gips mk với ai làm nhanh nhất mk sẽ k

Câu 2/ Gọi ước chung lớn nhất của a,c là q thì ta có:

a = qa₁; c = qc₁ (a₁, c₁ nguyên tố cùng nhau).

Thay vào điều kiện ta được:

 qa₁b = qc₁d

\(\Leftrightarrow\)a₁b = c₁d

\(\Rightarrow\)  d\(⋮\)a₁

\(\Rightarrow\)d = d₁a₁

Thế ngược lại ta được: b = d₁c₁

Từ đây ta có:

A = aⁿ + bⁿ + cⁿ + dⁿ = (qa₁)ⁿ + (qc₁)ⁿ + (d₁a₁)ⁿ + (d₁c₁)ⁿ

= (a​₁ ⁿ + c₁ ⁿ)(q ⁿ + d₁ ⁿ)

Vậy A là hợp số

\(D=\frac{4}{1^2}+\frac{4}{3^2}+....+\frac{4}{2015^2}\)

\(D=4+2.\left(\frac{2}{3.3}+\frac{2}{5.5}+....+\frac{2}{2015.2015}\right)\)

\(D< 4+2.\left(\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+.....+\frac{2}{2013.2015}\right)\)

\(D< 4+2.\left(1-\frac{1}{2015}\right)\)

\(D< 6\)

mink chỉ làm được vậy thôi bạn ạ, sorry

\(D=\frac{2^2}{1^2}+\frac{2^2}{3^2}+....+\frac{2^2}{2015^2}\)

\(D=4+2\left(\frac{2}{3^2}+\frac{2}{5^2}+...+\frac{2}{2015^2}\right)\)

Ta có

\(\frac{2}{3^2}< \frac{2}{1.3}=1-\frac{1}{3}\)

\(\frac{2}{5^2}< \frac{2}{3.5}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\)

\(\frac{2}{7^2}< \frac{2}{5.7}=\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\)

  \(...........\)

\(\frac{2}{2015^2}< \frac{2}{2015.2017}=\frac{1}{2013}-\frac{1}{2015}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{3^2}+\frac{2}{5^2}+\frac{2}{7^2}+.....+\frac{2}{2015^2}< 1-\frac{1}{2015}< 1\)

\(\Rightarrow D< 4+2.1\)

\(\Rightarrow D< 6\)