Cho A=\(2\left(1^{2015}+2^{2015}+...+n^{2015}\right)\)và n là số nguyên dương. Chứng minh A chia hết cho n(n+1)
Cho \(A=2\left(1^{2015}+2^{2015}+3^{2015}+...+n^{2015}\right)\). Biết n là số nguyên dương.
Chứng minh: A chia hết cho n(n+1)
Làm đc mình cho 5* nha
Cho A = \(2\left(1^{2015}+2^{2015}+3^{2015}+...+n^{2015}\right)\). Biết n là số nguyên dương.
Chứng minh: A chia hết cho n(n+1)
sử dụng tính chất \(a^n+b^n⋮\left(a+b\right)\)vs n lẻ
Cho A = \(2\left(1^{2015}+2^{2015}+3^{2015}+...+n^{2015}\right)\). Biết n là số nguyên dương.
Chứng minh: A chia hết cho n(n+1)
Lời giải:
TH1: $n$ chẵn
Theo hằng đẳng thức đáng nhớ, với $2015$ lẻ và 2 số $a,b$ nguyên dương bất kỳ thì thì:\(a^{2015}+b^{2015}\vdots a+b\)
Áp dụng vào bài toán:
\(1^{2015}+n^{2015}\vdots n+1\)
\(2^{2015}+(n-1)^{2015}\vdots n+1\)
....
\(\left(\frac{n}{2}\right)^{2015}+\left(\frac{n}{2}+1\right)^{2015}\vdots n+1\)
\(\Rightarrow 1^{2015}+2^{2015}+...+n^{2015}\vdots n+1\)
\(\Rightarrow A=2(1^{2015}+2^{2015}+...+n^{2015})\vdots n+1\)
------------
Mặt khác, ta cũng có:
\(2[1^{2015}+(n-1)^{2015}]\vdots n\)
\([2^{2015}+(n-2)^{2015}]\vdots n\)
......
\(2\left(\frac{n}{2}\right)^{2015}=2\left(\frac{2k}{2}\right)^{2015}=2k^{2015}=\vdots (2k=n)\)
\(\Rightarrow 2(1^{2015}+2^{2015}+...+(n-1)^{2015})\vdots n\)
\(\Rightarrow A=2(1^{2015}+2^{2015}+...+(n-1)^{2015}+n^{2015})\vdots n\)
Vậy $A\vdots n$ và $A\vdots (n+1)$. Mà $(n,n+1)=1$ nên $A\vdots n(n+1)$
TH2: $n$ lẻ
Hoàn toàn tương tự, ghép cặp hợp lý ta cũng thu được $A\vdots n(n+1)$
Vậy ta có đpcm.
1.Cho biểu thức:A=(a^2015+b^2015+c^2015)-(a^2011+b^2011+c^2011) với a,b,c là các số nguyên dương. Chứng minh rằng A chia hết cho 30
2. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n²-14n-256 là một số chính phương.
giúp mình với các bạn nhé!
chứng minh rằng nếu a và b là các số tự nhiên thỏa mãn 5a+3b và 13a+8b cũng chia hết cho 2015 thì a chia hết cho 2015 và b cũng chia hết chia hết cho 2015
2)tìm số tự nhiên n để
(15-2n) chia hết cho (n+1) với n nhỏ hơn hoặc bằng 7
Bài 1: a) Chứng minh với n là số tự nhiên thì A = 3n+3 + 5n+3 + 3n+1 + 5n+2 chia hết cho 60
b) Chứng minh rằng nếu a/b = c/d thì [(a-b)/(c-d)]^2013 = (a^2015 + b^2015)/(c^2015 + d^2015)
a ) Chứng tỏ rằng tổng sau không chia hết cho 10
A= 2015n+22015+mn (m,n thuộc N,n khác 0)
b) Cho số tư nhiên n>2 và không chia hết cho 3
CMR: n2-1 và n2+1 không thể đồng thời là hai số nguyên tố
Cho biểu thức A=\(\left(2015^{2016}-1\right)\left(2015^{2016}+1\right)\)
1.Chứng minh rằng A chia hết cho 4
2.Chứng minh rằng A chia hết cho 12
gips mk với ai làm nhanh nhất mk sẽ k
1. cho biểu thức :
D = \(\frac{\left(2!\right)^2}{1^2}+\frac{\left(2!\right)^2}{3^2}+\frac{\left(2!\right)^2}{5^2}+...+\frac{\left(2!\right)^2}{2015^2}\)
so sánh D với 6
2. cho các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn : ab = cd
Chứng minh rằng : A = an + bn + cn + dn là hợp số
với mọi n \(\in\)N
Câu 2/ Gọi ước chung lớn nhất của a,c là q thì ta có:
a = qa1; c = qc1 (a1, c1 nguyên tố cùng nhau).
Thay vào điều kiện ta được:
qa1b = qc1d
\(\Leftrightarrow\)a1b = c1d
\(\Rightarrow\) d\(⋮\)a1
\(\Rightarrow\)d = d1a1
Thế ngược lại ta được: b = d1c1
Từ đây ta có:
A = an + bn + cn + dn = (qa1)n + (qc1)n + (d1a1)n + (d1c1)n
= (a1 n + c1 n)(q n + d1 n)
Vậy A là hợp số
\(D=\frac{4}{1^2}+\frac{4}{3^2}+....+\frac{4}{2015^2}\)
\(D=4+2.\left(\frac{2}{3.3}+\frac{2}{5.5}+....+\frac{2}{2015.2015}\right)\)
\(D< 4+2.\left(\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+.....+\frac{2}{2013.2015}\right)\)
\(D< 4+2.\left(1-\frac{1}{2015}\right)\)
\(D< 6\)
mink chỉ làm được vậy thôi bạn ạ, sorry
\(D=\frac{2^2}{1^2}+\frac{2^2}{3^2}+....+\frac{2^2}{2015^2}\)
\(D=4+2\left(\frac{2}{3^2}+\frac{2}{5^2}+...+\frac{2}{2015^2}\right)\)
Ta có
\(\frac{2}{3^2}< \frac{2}{1.3}=1-\frac{1}{3}\)
\(\frac{2}{5^2}< \frac{2}{3.5}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\)
\(\frac{2}{7^2}< \frac{2}{5.7}=\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\)
\(...........\)
\(\frac{2}{2015^2}< \frac{2}{2015.2017}=\frac{1}{2013}-\frac{1}{2015}\)
\(\Rightarrow\frac{2}{3^2}+\frac{2}{5^2}+\frac{2}{7^2}+.....+\frac{2}{2015^2}< 1-\frac{1}{2015}< 1\)
\(\Rightarrow D< 4+2.1\)
\(\Rightarrow D< 6\)