13. Tìm giá trị lớn nhất của phân số mà tử số là một số có 3 chữ số và mẫu là tổng của các chữ số của nó..

14. Cho tam giác ABC cân tại a, trên AB lấy D, trên AC lấy E sao cho:

AD = EC = DE = CB.

a, Nếu AB> 2BC. Tính góc A của tam giac ABC

b, Nếu AB < BC. Tính góc A của tam giac HBC.

15. Tìm nghiệm nguyên của PT: 6x + 15y + 10z = 3

16. Cho tam giac ABC.H là trực tâm, đường thẳng vuông góc với ab tại b, với ac tại d

a, CMR: Tứ giác BDCH là hình bình hành

b,nhận xét mối quan hệ giữa góc a và d của tứ giác abdc

17. Cho a/(x+y)=13/(x+z) và 169/(x+z)^2=-27/(z-y)(2x+y+z)

tính giá trị của biểu thức A = (2a³-12a²+17a-2)/(a-2 )

18. Cho x² – x = 3, Tính giá trị của biểu thức : M = x⁴ - 2x³ + 3x² - 2x + 2

19. a, Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x(x+1)(x+2)(x+3)

b, Cho x,y > 0 vàx + y = 0, Tìm giá trị nhỏ nhất của N = 1/x  +  1/y

20. a, Cho 0 nhỏ hơn hoặc bằng a, b, c nhỏ hơn hoặc bằng 1. CMR: a² + b² + c² nhỏ hơn hoặc bằng 1+ a²b + b²c + c²a

b, Cho 0 nhỏ hơn a­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­₀ nhỏ hơn a₁ nhỏ hơn ... nho hơn  a₁₉₉₇. CMR: 

(a₀ + a₁ + …..+ a₁₉₉₇)/(a₂+a₅+a₈+…+a₁₉₉₇) be hơn 3

21. a,Tìm a để PT  /4-3x/= 5 – a có ngiệm nguyên.

b, Tìm nghiệm nguyên d­ương của PT:  x/(2x+y+z)+y/(2y+x+z)+z/(2z+x+y) = 3/4

22. Cho hình vuông ABCD, trên CD lấy M, nối M vớ A. Kẻ phân giác gốc MAB  cắtt BC tại P,  kẻ phân giác gốc MAD cắt CD tại Q. CMR: PQ  vuông góc với  AM

23. Cho x, y, z lớn hơn  0 và xyz = 1. Tìm giá trị lớn nhất A = 1/(x³+y³+1)+1/(y³+z³+1)+1/(z³+x³+1)

24. Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài BC gấpp 2 lần chiều rộg CD, từ C kẻ Cx tạo vớ CD một gốc 15⁰ cắt AD tại E. CMR: tam giac BCE cân.

25. a) Cho x, y lớn hơn  0 vµ x+y = 1. Tìm giá trị lớn nhất của P = (1 -1/x²)(1 -1/y²)

b, Cho  0 nhỏ hơn hoặc bằng a, b , c nhỏ hơn hoặc bằng  1. CMR: a + b² +c³ – ab – bc – ca nhỏ hơn hoặc bằng 1

26. Chia tập N thành các nhóm: 1; (2,3); (4,5,6)....., nhãm n gồm n số hạng. Tính tổng các số trong nhóm 94..

27. a)  Cho x, y, z lớn hơn hoặc bằng  0 vµ x + 5y = 1999; 2x + 3z = 9998. Tìm giá trị lớn nhất của M = x + y + z

b) Tìm các số ab có 2 chữ số  sao cho ab/ /a-b/ lµ số nguyên tố

28. Cho tg ABC cân (AB=AC) trên AB lấy ®iÓm M, trên phần kéo dài của AC về phía C lấy điểm N sao cho: BM = CN, và hình bành hành BMNP. CMR: BC vuong goc PC

29. Cho x, y thỏa mãn: 2x² + 1/x² + y²/4 = 4 (x0). Tìm x, y để xy đạt giá trị nhỏ nhất.

30. Cho a, b, c > 0 và P = a³/(a²+ab+b²)+ b³/(b²+bc+c²)+ c³/(c²+ac+a²)

 Q = b³/(a²+ab+b²)+ c³/(b²+bc+c²)+ a³/(c²+ac+a²)

a, CMR: P = Q

b, CMR: P lớn hơn hoặc bằng (a+b+c)/3

31. Tìm số nghiệm nguyên đúng: 4x²y = (x²+1)(x²+y²)

32. Giải BPT: /1-/x// < a-x   (x là ẩn số)

33. Cho tg ABC , trên BC lấy M, N sao cho BM = MN = NC. Gọi D, E là trung điểm của AC, AB, P là giao của AM và BD. Gọi Q là giao của AN và CE. Tính PQ theo BC

34. : a, Tìm nghiệm nguyên tố của PT: x² + y² + z² = xyz

b, Tìm số nguyên tố p để 4p + 1 là số chính phương

c tìm số có hai chữ số mà số ấy là bội số của tích hai chữ số của nó

35. Cho: (x²-yz)/a=(y²-zx)/b=(z²-xy)/c .  CMR: (a²-bc)/x=(b²-ca)/y=(c²-xab)/z

36. Tìm nghiệm nguyên của PT: 2x-5y-6z =4.

37. CMR: A = n⁶ – n⁴ +2n³ +2n² không là số chính ph­ương với nthuộcN và n >1

38. a Cho x, y > 0 thoả mãn xy= 1. Tìm giá trị lớn nhất A =x/(x^4+y^2)+y/(x^2+y^4).

b) Cho f(x) = x² + nx + b thỏa mãn /f(x)/ nhỏ hơn hoặc bằng ½; /x/ nhỏ hơn hoặc bằng 1. Xácđịnh f(x)

39. Cho xyz = 1 và x+y+z = 1/x+1/y+1/z = 0. Tính giá trị M =(x⁶+y⁶+z^6­)/(x³+y³+z³)

40. Cho a khác  0 ;cộng trừ  1 và x₁=(a-1)/(a+2); x₂=(x­₁-1)/(x₁+1);  x₃=(x₂-1)/(x₂+1)………  . Tìm a nếu x₁₉₉₇ = 3

41. Tìm m để phương trình có ngiệm âm:  (m(x+2)-3(m-1)/(x+1)=1

43. Cho M = 3x² - 2x + 3y² – 2y + 6x +1. Tìm giá trị M biết: xy = 1 và /x+y/ đạt giá trị nhỏ nhất.

44. Tìm x, y N biết: 2^x + 1 = y²

45. Cho tam giac ABC  (AB < AC). AD, AM  là phân giác, là đường trung tuyến của tam giác abc . đường thẳng qua D và vuông gốc với AD cắt AC tại E. So sánh S của ADM và S của  CEM

46. Cho (a² + b² + c²)( x² + y² + z²) = (ax + by + cz)². CMR: x/a +y/b +z/c với abc khác 0

49. Cho x³ + y³ + 3(x²+y²) + 4xy + 4 = 0 vµ xy > 0. Tìm giá tị lớn nhất của A = 1/x +1/y

50. a, CMR PT: 3x⁵ – x³ + 6x² – 18x = 2001 không có ngiệm nguyên.

b, Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng

52. Cho tg ABC  về phía ngoài tg ABC vẽ tam giác vuông cân ABE và CAF tại A.

CMR: Trung tuyến AI cua Tg ABC  vuông góc vớiEF và AI = 1/2EF

55. Cho P = 5x+y+1; Q = 3x-y+4. CMR: Nếu x = m; y = n Với m, n thuộc  N thì P.Q là số chẵn

56.  CMR PT: 2x² – 4y² = 10 không có nghiệm nguyên.

b, Tìm số tự nhiên nhỏ nhất n > 1 sao cho: A = 1² + 2² +....+n² là một số chình nhương

57  Cho tam giAc ABC  vuông cân ở A, qua A vẽ  d sao cho B, C thuộc nửa mp bờ d, và BH, CK cùng vuông gốc  với  d (H, K là chân đường vuông góc).

a, CMR: AH = CK

b, Gọi M là trung điêm  BC. Xác định dạngg tam giac MHK

58 Cho hình vuông ABCD, M là trung điêm của DC, trên cạnh BC lấy hai điểm H và K sao cho BH = HK = KC, AM cắt BD taii N. Chứng minh:

    a) Tam giác ANH vuông cân

    b) AC đi qua trung điểm NK

Bµi 59/  Cho  tam giác ABC , O là giao 3 đường phân giác trong, D là giao

điểm đường phân giác trong vs góc a. Tõ D ke đường thẳng song song BO, cắt  AB tai M, Từ D kẻ đường thăng song song với CO, cắt AC tai N.

  a) Chứng minh:  MN // BC.

  b) Qua D vẽ đường thẳng vuông góc vs AD, cắt AB tại P cắt AC tại  Q, chứng minh:NQ/MP=(DM/DN)² 

Bµi 60. Cho hình thang ABCD (AB // CD;  DC > AB). M là trung điêm của DC, trên tia đối tia MA lấy điểm N, trên tia đối tia NB lấy điểm P sao cho NP = NB;  BD và PC cắt  AM theo thứ tự tại E và F. Chøng minh: EB/ED=FP/FC

                                        Nhờ giải nhanh nha