a) b) \(S=1+3+5+...+2009+2011\)

Tổng trên là tổng các số hạng cách đều, số hạng sau hơn số hạng trước \(2\)đơn vị. 

Số số hạng của tổng trên là: \(\left(2011-1\right)\div2+1=1006\)

Giá trị của tổng trên là: \(S=\left(2011+1\right)\times1006\div2=2012\times1006\div2=1006^2=1012036\)

c) Phân tích thành tích cách thừa số nguyên tố: \(1006=2.503\)

Nên cách ước nguyên tố của \(S\)là \(2,503\).

a) theo công thức tính tổng: S=1+2+3...+n=(n.(n+1))/2

=>S=1+3+5...+2011=1+2+3+...+2010+2011-(2+4+6...+2010)

      =1+2+3+...+2010+2011-2(1+2+3+...+1005)

      =2011.2012/2 -2(1005.1006/2) =1012036

mà 1012036 có tận cùng =6 và 1012036=2^2.503^2 (số mũ chẳn) , 1012036=1006^2

=> 1012036 là số chính phương.

b) 1012036=2^2.503^2 => ước nguyên tố của S= {2;503}

pac man

a) S = [(1 + 2011) x ( 2011 - 1) : 2 + 1] : 2 = 1006 x 1006 = 1012036

=> 1006² = Số chính phương

b) Các ước nguyên tố khác nhau: 1012036 = 2 . 2 . 253009

=> Có 2 ước nguyên tố là 2 và 253009

Có : 1 + 3 + 5 + ... + 2009 + 2011 = \(\frac{\left(2011+1\right)\left(\frac{2011-1}{2}+1\right)}{2}=\frac{2012}{2}.1006=1006.1006=1006^2\)

Vậy S là số chính phương

S có số các số hạng là:

\(\frac{2011-1}{2}+1=1006\)(số)

\(\Rightarrow S=\frac{1006.\left(1+2011\right)}{2}=1006.\frac{2012}{2}=1006.1006=1006^2\left(=1012036\right)\)

Do đó S là số chính phương.

Ta có:

\(1006^2=2^2.503^2\)

Vậy các ước nguyên của S sẽ là:

\(1;2;4;503;1006;2012;253009;506018;1012036;-1;-2;-4;\)

\(-503;-1006;-2012;-253009;-506018;-1012036\)

S=(2011+1)((2011-1):2+1):2=1012036=1006^2

=> S là số chính phương

Các ước nguyên tố là : 2 và 503

1.a) Ta thấy dãy số trên là dãy số cách đều 2 ĐV .

Số số hạng là : ( 2011 - 1 ) : 2 + 1 = 1 006 ( số )

Tổng là : ( 2011 + 1 ) . 1006 : 2 = 2 018 036

b) S là số chính phương 

c) Một số ước nguyên tố của S là : 2 , 17 , 59 , . . .

 1.Cho tổng    S = 1 + 3 + 5 + … + 2009 + 2011

            a) Tính S

b) Chứng tỏ S là một số chính phương.

c) Tìm các ước nguyên tố khác nhau của S.

Câu 4 (2 điểm)

            a) Tìm số tự nhiên x có ba chữ số sao cho x chia cho 7; 8; 9 đều dư 2.

            b) Cho n là số tự nhiên bất kỳ.

Chứng minh (n + 3) và (2n + 5) là hai số nguyên tố cùng nhau.

Câu 5 (2 điểm)

            Trong mặt phẳng cho 6 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng.

Hỏi:

a) Vẽ được bao nhiêu đoạn thẳng đi qua các điểm đã cho?

b) Vẽ được bao nhiêu tam giác có ba đỉnh là ba điểm trong các điểm đã cho

1.a) Ta thấy dãy số trên là dãy số cách đều 2 ĐV .

Số số hạng là : ( 2011 - 1 ) : 2 + 1 = 1 006 ( số )

Tổng là : ( 2011 + 1 ) . 1006 : 2 = 2 018 036

b) S là số chính phương 

c) Một số ước nguyên tố của S là : 2 , 17 , 59 , . . .

còn lại nhiều quá