Đề sai.

Đặt \(9a+3b+c=x;4a-2b+c=y\)

Ta có \(x+y=13a+b+2c=0\Rightarrow y=-x\)

Khi đó:

\(f\left(3\right).f\left(-2\right)=\left(9a+3b+c\right)\left(4a-2b+c\right)=xy=-x^2\le0\)

Lộn, phải là bé hơn hoặc bằng 0

25a+b+2c =0 à đúng ko vậy 

đầu bài có 1 chỗ sai nhé 

Bài làm

a) Giả sử P(x) có một nghiệm là 1 thì:

p(1)=a*1^2+b*1+c

      =a+b+c

Mà a+b+c=0

=>p(1)=0

=>đa thức p(x) có 1 nghiệm là 1(ĐPCM)

b)Giả sử P(x) có 1 nghiệm là -1 thì

p(-1)=a*(-1)^2+b*(-1)+c

       =a-b+c

Mà a-b+c=0

=>p(-1)=0

=> đa thức p(x) có một nghiệm là -1(ĐPCM)

c)TA có:

p(1)=a*1^2+b*1+c=a+b+c

p(-1)=a.(-1)^2+b*(-1)+c=a-b+c

Mà p(1)=p(-1)

=>a+b+c=a-b+c

=>a+b+c-a+b-c=0

=>2b=0  =>b=0

+) Với b=0 =>p(x)=ax^2+c (1)

                   =>p(-x)=a*(-x)^2+c=a*x+c  (2)

Từ (1)và (2) =>p(x)=p(-x) (ĐPCM)

\(f\left(3\right).f\left(-2\right)=\left(9a+3b+c\right)\left(4a-2b+c\right)\)

\(=\left[3\left(a+b\right)+6a+c\right]\left[-2\left(a+b\right)+6a+c\right]\)

\(=\left(6a+c\right)\left(6a+c\right)=\left(6a+c\right)^2\ge0\) (đpcm)

Với \(c=0\Rightarrow f\left(x\right)=0\) có nghiệm \(x=0\) (loại)

TH1: \(a;c\) trái dấu 

Xét pt \(f\left(x\right)=0\Leftrightarrow a\left(ax^2+bx+c\right)^2+b\left(ax^2+bx+c\right)+c=0\)

Đặt \(ax^2+bx+c=t\) \(\Rightarrow at^2+bt+c=0\) (1)

Do a; c trái dấu \(\Leftrightarrow\) (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu.

Không mất tính tổng quát, giả sử \(t_1< 0< t_2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}ax^2+bx+c=t_1\\ax^2+bx+c=t_2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}ax^2+bx+c-t_1=0\left(2\right)\\ax^2+bx+c-t_2=0\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Mà a; c trái dấu nên:

- Nếu \(a>0\Rightarrow c< 0\Rightarrow c-t_2< 0\Rightarrow a\left(c-t_2\right)< 0\)

\(\Rightarrow\) (3) có nghiệm hay \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm (loại)

- Nếu \(a< 0\Rightarrow c>0\Rightarrow c-t_1>0\Rightarrow a\left(c-t_1\right)< 0\)

\(\Rightarrow\left(2\right)\) có nghiệm hay \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm (loại)

Vậy đa thức \(f\left(x\right)\) luôn có nghiệm khi a; c trái dấu

\(\Rightarrow\)Để \(f\left(x\right)=0\) vô nghiệm thì điều kiện cần là \(a;c\) cùng dấu \(\Leftrightarrow ac>0\)

Khi đó xét \(g\left(x\right)=0\) có \(a.\left(-c\right)< 0\Rightarrow g\left(x\right)=0\) luôn có 2 nghiệm trái dấu (đpcm)

Tham khảo: