\(h\left(x\right)=f\left(x^2+1\right)-m\Rightarrow h'\left(x\right)=2x.f'\left(x^2+1\right)\)

\(h'\left(x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\f'\left(x^2+1\right)=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x^2+1=2\\x^2+1=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=\left\{-2;-1;0;1;2\right\}\)

Hàm có nhiều cực trị nhất khi \(h\left(x\right)=m\) có nhiều nghiệm nhất

\(f\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx=\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{5}{3}x^3-2x^2+20x+C\)

\(f\left(1\right)=0\Rightarrow C=-\dfrac{199}{12}\Rightarrow f\left(x\right)=-\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{5}{3}x^3-2x^2+20x-\dfrac{199}{12}\)

\(x=\pm2\Rightarrow x^2+1=5\Rightarrow f\left(5\right)\approx-18,6\)

\(x=\pm1\Rightarrow x^2+1=2\Rightarrow f\left(2\right)\approx6,1\)

\(x=0\Rightarrow x^2+1=1\Rightarrow f\left(1\right)=0\)

Từ đó ta phác thảo BBT của \(f\left(x^2+1\right)\) có dạng:

Từ đó ta dễ dàng thấy được pt \(f\left(x^2+1\right)=m\) có nhiều nghiệm nhất khi \(0< m< 6,1\)

\(\Rightarrow\) Có 6 giá trị nguyên của m

\(f'\left(x\right)=-4x^3\left(f\left(x\right)\right)^2\Leftrightarrow-\dfrac{f'\left(x\right)}{\left(f\left(x\right)\right)^2}=4x^3\)

Lấy nguyên hàm hai vế

\(\int-\dfrac{f'\left(x\right)}{\left(f\left(x\right)\right)^2}dx=\int4x^3dx\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{f\left(x\right)}=x^4+c\)

Thay x=0 vào tìm được c=1 \(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^4+1}\)

\(I=\int\limits^1_0\dfrac{x^3}{x^4+1}dx=\dfrac{1}{4}\int\limits^1_0\dfrac{\left(x^4+1\right)'}{x^4+1}dx=\dfrac{ln2}{4}\)

Chọn D

\(f'\left(x\right)=-e^x.f^2\left(x\right)\Leftrightarrow\frac{f'\left(x\right)}{f^2\left(x\right)}=-e^x\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\int\frac{f'\left(x\right)}{f^2\left(x\right)}dx=-\int e^xdx\)

\(\Rightarrow-\frac{1}{f\left(x\right)}=-e^x-C\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{e^x+C}\)

\(f\left(0\right)=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{1+C}=\frac{1}{2}\Rightarrow C=1\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{e^x+1}\Rightarrow f\left(ln2\right)=\frac{1}{e^{ln2}+1}=\frac{1}{3}\)

Ta có \(f\left(x\right)>0,\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-x^2-2\left(m-1\right)x+2m-1>0,\forall x\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2m\left(x-1\right)>x^2-2x+1,\forall x\in\left(0;1\right)\) (*)

Vì \(x\in\left(0;1\right)\Rightarrow x-1< 0\) nên (*) \(\Leftrightarrow-2m< \dfrac{x^2-2x+1}{x-1}=x-1=g\left(x\right),\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2m\le g\left(0\right)=-1\Leftrightarrow m\ge\dfrac{1}{2}\)