Tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phửng (ABC). Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng :
a) AH, SK và BC đồng quy
b) SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) và \(\left(SAC\right)\perp\left(BHK\right)\)
c) HK vuông góc với mặt phẳng (SBC) và \(\left(SBC\right)\perp\left(BHK\right)\)
Cho tứ diện $S.ABC$ có tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $ (ABC)$. Gọi $AH$ là đường cao của tam giác $SBA$. Chứng minh $AH \perp SC.$
SA vuông góc với (ABC)=> SA vuông góc với BC
mà AB vuông góc với BC ( tam giác ABC vuông)
=> BC vg góc với (SAB)=> BC vg góc AH
mà AH vg góc SB
=> AH vg góc (SBC)=> AH vg góc SC
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B,AB=a,SA\perp AB,SC\perp BC,SB=2a.\)Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm \(SA,BC\). Gọi \(\alpha\) là góc giữa \(MN\) với \(\left(ABC\right)\) .Tính \(cos\alpha\).
Gọi D là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC)
\(SD\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SD\perp AB\) , mà \(AB\perp SA\left(gt\right)\Rightarrow AB\perp\left(SAD\right)\Rightarrow AB\perp AD\)
\(\Rightarrow AD||BC\)
Tương tự ta có: \(BC\perp\left(SCD\right)\Rightarrow BC\perp CD\Rightarrow CD||AB\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác ABCD là hình vuông
\(\Rightarrow BD=a\sqrt{2}\)
\(SD=\sqrt{SB^2-BD^2}=a\sqrt{2}\)
Gọi P là trung điểm AD \(\Rightarrow MP\) là đường trung bình tam giác SAD
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MP=\dfrac{1}{2}SD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\\MP||SD\Rightarrow MP\perp\left(ABC\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\alpha=\widehat{MNP}\)
\(cos\alpha=\dfrac{NP}{MN}=\dfrac{NP}{\sqrt{NP^2+MP^2}}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+\dfrac{a^2}{2}}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B, AB = a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Tính thể tích khối tứ diện S.AHK.
A. V = 4 a 3 15
B. V = 8 a 3 45
C. V = 8 a 3 15
D. V = 4 a 3 5
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Gọi \(\alpha \) là số đo của góc nhị diện \(\left[ {A,BC,S} \right]\). Chứng minh rằng tỉ số diện tích của hai tam giác \(ABC\) và \(SBC\) bằng \(\cos \alpha \).
Kẻ \(AH \bot BC\left( {H \in BC} \right)\)
\(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\)
\( \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BC \bot SH\)
Vậy \(\widehat {SHA}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,BC,S} \right]\)
\( \Rightarrow \widehat {SHA} = \alpha \)
\(\begin{array}{l}{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BC.AH,{S_{\Delta SBC}} = \frac{1}{2}BC.SH\\ \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta SBC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}BC.AH}}{{\frac{1}{2}BC.SH}} = \frac{{AH}}{{SH}} = \cos \widehat {SHA} = \cos \alpha \end{array}\)
Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H , K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC.
a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy.
b) Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) và HK vuông góc với mặt phẳng (SBC).
c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA.
Cho tứ diện $S.ABC$ có tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và $SA \perp (ABC)$. Chứng minh tứ diện $S.ABC$ có tất cả các mặt là tam giác vuông?
SA vg (ABC)=> SAB,SAC vuông
SA vg BC, AB vg BC => BCvg (SAB) =>SB vg BC=> SBC vuông
vậy all mặt đều vuông
\(\hept{\begin{cases}SA\perp\left(ABC\right)\\AB\subset\left(ABC\right)\end{cases}}\) \(\Rightarrow SA\perp AB\Rightarrow\) tam giác SAB vuông (1)
\(\hept{\begin{cases}SA\perp\left(ABC\right)\\AC\subset\left(ABC\right)\end{cases}\Rightarrow AC\perp SA\Rightarrow}\) tam giác SAC vuông (2)
Tam giác ABC vuông tại B (gt) (3)
\(\Rightarrow AB\perp BC\)
\(\hept{\begin{cases}SA\perp\left(ABC\right)\\BC\subset\left(ABC\right)\end{cases}\Rightarrow SA\perp BC}\)
\(\hept{\begin{cases}AB\perp BC\\SA\perp BC\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}BC\perp\left(SAB\right)\\SB\subset\left(SAB\right)\end{cases}\Rightarrow}SB\perp BC\Rightarrow}\) Tam giác SBC vuông (4)
\(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right);\left(4\right)\Rightarrowđpcm\)
dđay nhé anh cao thành đô cho em nhé anh
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\),\(BC=a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy ,\(SA=a\sqrt[]{3}\) .Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\).Tính cot góc giữa hai mặt phẳng \(\left(SBM\right)\) và \(\left(SAB\right)\).
Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, \(SA\perp\left(ABC\right)\) và \(SA=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
Ta có : \(\left(SBC\right)\cap\left(ABC\right)=BC\)
Lấy H là TĐ của BC \(\Rightarrow AH\perp BC\)
SA \(\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp AB;AC\)
\(\Delta SAB;\Delta SAC\perp\) tại A có : \(SB=\sqrt{SA^2+AB^2}=\sqrt{SA^2+AC^2}=SC\)
\(\Rightarrow\Delta SBC\) cân tại S . Suy ra : \(SH\perp BC\)
Suy ra : \(\left(\left(SBC\right);\left(ABC\right)\right)=\left(HA;HS\right)=\widehat{SHA}\)
Tính được : AH = \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(\Delta SAH\) vuông tại A có : \(tan\widehat{SHA}=\dfrac{SA}{HA}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}:\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=1\Rightarrow\widehat{SHA}=45^o\)
Vậy ...