Cho a, b không âm thỏa mãn: \(a^2+b^2=a+b\). Tìm GTLN của biểu thức: \(S=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}\)
Cho a, b không âm thỏa mãn: \(a^2+b^2=a+b\). Tìm GTNN của biểu thức: \(S=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}\)
\(S\ge0\), đẳng thức xảy ra khi a = b = 0.
Bài này chắc có vấn đề, đáng lẽ phải là tìm GTLN
Cho a, b không âm thỏa mãn: \(a^2+b^2=a+b\). Tìm GTNN của biểu thức: \(S=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}\)
Lời giải:
$a^2+b^2=a+b$
$\Rightarrow (a+b)^2-(a+b)=2ab\geq 0$
$\Rightarrow a+b\geq 1$. Do đó:
$S=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}=\frac{2ab+a+b}{ab+a+b+1}\geq \frac{\frac{ab}{2}+\frac{a+b+1}{2}}{ab+a+b+1}=\frac{1}{2}$
Vậy GTNN của $S$ là $\frac{1}{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $(a,b)=(0,1)$ và hoán vị.
Cho \(a,b>0\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}=2\). Tìm GTLN của biểu thức \(P=\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)
Ta có \(\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}=2\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{\sqrt{ab}}=4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=4-\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)
Khi đó P = \(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\left(4-\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\right)=-2\left(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}-1\right)^2+2\le2\)
Dấu "=" khi a = b = 1
cho hai số không âm a và b thỏa mãn a2+b2=a+b. Tìm GTLN của biểu thức S= a/(a+1)+b/(b+1)
∙2/(a+b)=2/(a2+b2)≥(a+b)2⇒a+b≤2
Do đó:
S=a/a+1+b/b+1=(1−1/a+1)+(1−1/b+1)=2−(1/a+1+1/b+1)≤2−4/a+b+2≤2−4/2+2=1
Cho hai số không âm a và b thỏa mãn a2+b2=a+b. Tìm GTLN của biểu thức S= a/(a+1)+b/(b+1)
∙2/(a+b)=2/(a2+b2)≥(a+b)2⇒a+b≤2
Do đó:
S=a/a+1+b/b+1=(1−1/a+1)+(1−1/b+1)=2−(1/a+1+1/b+1)≤2−4/a+b+2≤2−4/2+2=1
đề bài này sao sao ý của mik là nhỏ hơn hoặc bằng a+b
cho hai số không âm a và b thỏa mãn : a^2 + b^2 = a + b . Tìm GTLN của biểu thức :
S = a/a+1 + b/b+1
∙2(a+b)=2(a^2+b2)≥(a+b)2⇒a+b≤2
Do đó:
S=a/a+1+b/b+1=(1−1/a+1)+(1−1/b+1)=2−(1/a+1+1/b+1)≤2−4/a+b+2≤2−4/2+2=1
Cho a,b,c không âm thỏa mãn a+b+c=1. Tìm Min và Max của biểu thức:
\(T=\dfrac{a}{1+b+c}+\dfrac{b}{1+c+a}+\dfrac{c}{1+a+b}\)
\(T=\dfrac{a}{2-a}+\dfrac{b}{2-b}+\dfrac{c}{2-c}\)
- Với min: hãy chứng minh BĐT phụ sau: \(\dfrac{a}{2-a}\ge\dfrac{18a-1}{25}\)
(Lưu ý rằng a;b;c không âm nên nếu nhân cả tử và mẫu với a chẳng hạn để Cauchy-Schwarz thì sẽ dẫn tới khả năng mẫu số bằng 0 bài làm ko đủ chặt chẽ)
- Với max: chứng minh BĐT phụ sau: \(\dfrac{a}{2-a}\le a\)
Cho các số thực a,b không âm thoả mãn: a + b = \(\dfrac{1}{2}\). Tìm max và min của biểu thức: P = \(\dfrac{a}{1-a}+\dfrac{b}{1-b}\)
*Tìm min:
\(P=\dfrac{a}{1-a}+\dfrac{b}{1-b}=\dfrac{1}{1-a}-1+\dfrac{1}{1-b}-1\)
\(\ge\dfrac{4}{\left(1-a\right)+\left(1-b\right)}-2\)
\(=\dfrac{4}{2-\dfrac{1}{2}}-2=\dfrac{2}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{4}\). Do đó minP=2/3
*Tìm max: \(a,b\ge0\)
\(P=\dfrac{a}{1-a}+\dfrac{b}{1-b}=\dfrac{a-ab+b-ab}{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}\)
\(=\dfrac{\dfrac{1}{2}-2ab}{1-\left(a+b\right)+ab}=\dfrac{\dfrac{1}{2}-2ab}{\dfrac{1}{2}+ab}=\dfrac{\dfrac{3}{2}-2\left(\dfrac{1}{2}+ab\right)}{\dfrac{1}{2}+ab}\)
\(=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{1}{2}+ab}-2\le\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{1}{2}}-2=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b\right)=\left(0;\dfrac{1}{2}\right),\left(\dfrac{1}{2};0\right)\)
Vậy maxP=1
Cho a,b,c >0 thỏa mãn \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=4\). Tìm GTLN của biểu thức
\(M=\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\)
\(4M=\dfrac{4}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}+\dfrac{4}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)}+\dfrac{4}{\left(c+a\right)+\left(b+c\right)}\)
\(\le\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{b+c}\)
\(=\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\)
=> 8M \(\le\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}\)
\(\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}=2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=8\)
=> \(M\le1\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 3/4
\(\dfrac{1}{2a+b+c}=\dfrac{1}{a+a+b+c}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{1}{a+2b+c}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) ; \(\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)
Cộng vế:
\(M\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{c}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=1\)
\(M_{max}=1\) khi \(a=b=c=\dfrac{3}{4}\)