\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc\)

\(\frac{a^2}{a+bc}=\frac{a^3}{a^2+abc}=\frac{a^3}{a^2+ab+bc+ca}=\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)

Cô si: 

\(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+b}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}.\frac{\left(a+b\right)}{8}.\frac{\left(b+c\right)}{8}}=\frac{3a}{4}\)

Tương tự với 2 cục còn lại, công theo vế:

\(VT+\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{a+b+c}{4}\text{ }\left(dpcm\right)\)

lấy bút xóa mà xóa hết là khỏe

\(botay.com.vn\)

giai dum cai dang can gap

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1^2}{\sqrt{a}}+\frac{2^2}{\sqrt{b}}+\frac{3^2}{\sqrt{c}}\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{36}{6}=6\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{2}{\sqrt{b}}=\frac{3}{\sqrt{c}}\\\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a}=1\\\sqrt{b}=2\\\sqrt{c}=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=4\\c=9\end{matrix}\right.\)

bài này chứng minh bài toán phụ, khá là phức tạp, trình bày ra chắc chết quá

bài này mình thấy tren mạng đăng lên đó, có kết quả nhưng ko copy được

Bài này bạn xem lại trong chtt ấy! Mình giải bài này rồi, giải bằng miệng cho nhanh.

\(a+b+c=abc\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)

Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow xy+yz+zx=1\)

\(VT=\frac{x^2yz}{1+yz}+\frac{xy^2z}{1+zx}+\frac{xyz^2}{1+xy}=\frac{x^2yz}{xy+yz+yz+zx}+\frac{xy^2z}{xy+zx+yz+zx}+\frac{xyz^2}{xy+yz+xy+zx}\)

\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{x^2yz}{xy+yz}+\frac{x^2yz}{yz+zx}+\frac{xy^2z}{xy+zx}+\frac{xy^2z}{yz+zx}+\frac{xyz^2}{xy+yz}+\frac{xyz^2}{xy+zx}\right)\)

\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{x^2y}{x+y}+\frac{xy^2}{x+y}+\frac{y^2z}{y+z}+\frac{yz^2}{y+z}+\frac{x^2z}{x+z}+\frac{xz^2}{x+z}\right)\)

\(VT\le\frac{1}{4}\left(xy+yz+zx\right)=\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)

\(\frac{2014a}{ab+2014a+2014}+\frac{b}{bc+b+2014}+\frac{c}{ac+c+1}\)

\(=\frac{abc.a}{ab+abca+abc}+\frac{b}{bc+b+abc}+\frac{c}{ac+c+1}\)

\(=\frac{ac}{1+ac+c}+\frac{1}{c+1+ac}+\frac{c}{ac+c+1}=1\left(ĐPCM\right)\)