Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Dinh Thanh Tung

cho a, b, c la cac so thuc duong thoa man a + b + c =abc chung minh rang :

\(\frac{1}{a^2\left(1+bc\right)}+\frac{1}{b^2\left(1+ac\right)}+\frac{1}{c^2\left(1+ab\right)}\le\frac{1}{4}\)

Nguyễn Việt Lâm
13 tháng 7 2020 lúc 21:28

\(a+b+c=abc\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)

Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow xy+yz+zx=1\)

\(VT=\frac{x^2yz}{1+yz}+\frac{xy^2z}{1+zx}+\frac{xyz^2}{1+xy}=\frac{x^2yz}{xy+yz+yz+zx}+\frac{xy^2z}{xy+zx+yz+zx}+\frac{xyz^2}{xy+yz+xy+zx}\)

\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{x^2yz}{xy+yz}+\frac{x^2yz}{yz+zx}+\frac{xy^2z}{xy+zx}+\frac{xy^2z}{yz+zx}+\frac{xyz^2}{xy+yz}+\frac{xyz^2}{xy+zx}\right)\)

\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{x^2y}{x+y}+\frac{xy^2}{x+y}+\frac{y^2z}{y+z}+\frac{yz^2}{y+z}+\frac{x^2z}{x+z}+\frac{xz^2}{x+z}\right)\)

\(VT\le\frac{1}{4}\left(xy+yz+zx\right)=\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)


Các câu hỏi tương tự
$Mr.VôDanh$
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Trâm
Xem chi tiết
Thu Hien Tran
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Đặng Thị Thu Thảo
Xem chi tiết
Pham Thanh Thuong
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Diệu
Xem chi tiết
NGUYỄN MINH HUY
Xem chi tiết
Armldcanv0976
Xem chi tiết