Vì AD là phân giác BAC => DAC = DAB = BAC : 2 hay 2DAC = 2DAB = BAC

Vì CE là phân giác BCA => BCE = ECA = BCA : 2 hay 2BCE = 2ECA = BCA

Xét △ABC vuông tại B có: BAC + BCA = 90^o (2 góc nhọn trong △ vuông)

=> 2DAC + 2ECA = 90^o  => DAC + ECA = 45^o

Xét △ICA có: ICA + IAC + CIA = 180^o (tổng 3 góc trong tam giác)

=> 45^o + CIA = 180^o  => CIA = 135^o

b, Xét △ABC có BCx là góc ngoài của △ tại đỉnh C, ta có: BCx = CBA + BAC => BCx = 90^o + BAC

Vì CK là phân giác BCx \(\Rightarrow\frac{\widehat{BCx}}{2}=\frac{90^o+\widehat{BAC}}{2}\)\(\Rightarrow\widehat{BCK}=45^o+\widehat{DAC}\)

Xét △KCA có: CKA + KCA + CAK = 180^o (tổng 3 góc trong △)

=> CKA + KCD + DCI + ICA + CAK = 180^o

=> CKA + 45^o + DAC + DCI + ICA + CAK = 180^o

=> CKA + (DAC + ICA) + (DCI + CAK) = 135^o

=> CKA + 45^o + 45^o = 135^o

=> CKA = 45^o

a: ΔBAC vuông tại B

=>\(\widehat{BAC}+\widehat{BCA}=90^0\)

=>\(2\left(\widehat{IAC}+\widehat{ICA}\right)=90^0\)

=>\(\widehat{IAC}+\widehat{ICA}=45^0\)

Xét ΔIAC có \(\widehat{IAC}+\widehat{ICA}+\widehat{CIA}=180^0\)

=>\(\widehat{CIA}=180^0-45^0=135^0\)

b: CI và CK là hai tia phân giác của hai góc kề bù

=>\(\widehat{ICK}=90^0\)

\(\widehat{CIK}+\widehat{CIA}=180^0\)

=>\(\widehat{CIK}=45^0\)

Xét ΔCKI vuông tại C có \(\widehat{CIK}=45^0\)

nên ΔCKI vuông cân tại C

=>\(\widehat{CKI}=\widehat{CKA}=45^0\)

BC = AD (AO-BR)

a) 

Vì tam giác ABC cân tại A (gt)

suy ra: góc ABC = góc ACB

hay góc EBC = góc DCB

Xét tam giác EBC và tam giác DCB có

góc BEC = góc CDB ( =90)

góc EBC = góc DCB (CMT)

BC chung

Suy ra tam giác EBC = tam giác DCB (ch-gn)

suy ra BE=CD (cctu)

b) Xét tg ABC có:

+ BD là đườg cao (BD vuông góc AC)

+ CE là đg cao (CE vuông góc AB)

Mà BD giao CE tại I (gt)

=> I là trực tâm

=> AI là đường cao

Xét tg ABC cân tai A có: AI là đường cao (cmt)

=> AI cũng là đường pg góc BAC ( Tc tg cân)

Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng các định lý và tính chất trong hình học Euclid. Dưới đây là cách chứng minh cho từng phần:

a) Chứng minh tam giác AIB = tam giác AIC:

b) Chứng minh AI là tia phân giác của góc BAC:

c) Chứng minh IA là tia phân giác của góc HIK:

a: Xét ΔAIB và ΔAIC có

AB=AC

IB=IC

AI chung

Do đó: ΔAIB=ΔAIC

b: ΔAIB=ΔAIC

=>\(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)

=>AI là phân giác của \(\widehat{BAC}\)

c: Xét ΔAIH vuông tại H và ΔAIK vuông tại K có

AI chung

\(\widehat{HAI}=\widehat{KAI}\)

Do đó: ΔAIH=ΔAIK

=>\(\widehat{HIA}=\widehat{KIA}\)

=>IA là phân giác của \(\widehat{HIK}\)

Bài 3: 

Xét ΔCBD có CD=CB

nên ΔCBD cân tại C

Suy ra: \(\widehat{CDB}=\widehat{CBD}\)

mà \(\widehat{CDB}=\widehat{ADB}\)

nên \(\widehat{ADB}=\widehat{DBC}\)

mà hai góc này ở vị trí so le trong

nên AD//BC

hay ADCB là hình thang