Đề sai rồi nha bạn. 

Với mọi  \(x,y>0\)  thì ta luôn có bất đẳng thức sau  \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)   \(\left(\text{*}\right)\)

Ta cần chứng minh bất đẳng thức  \(\left(\text{*}\right)\)  là bđt đúng.

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số  \(x,y\)  không âm, ta được:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\left(x+y\right)^2\ge\left(2\sqrt{xy}\right)^2=4xy\)   (đpcm)

Dấu  \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(x=y\)

\(--------------------\)

Ta có:   \(a+b=\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)^2\)  \(\left(1\right)\) (do \(a+b+c=1\))

Mà  \(\left(a+b+c\right)^2=\left[\left(a+b\right)+c\right]^2\ge4\left(a+b\right)c\)  (theo bđt  \(\left(\text{*}\right)\), trong đó với  \(x=a+b;\)  \(y=c\)  và  \(a,b,c>0\))

Do đó,  \(\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)^2\ge\left(a+b\right).\left[4\left(a+b\right)c\right]=4\left(a+b\right)^2c\)  \(\left(2\right)\)

Mặt khác, ta lại có:  \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)  (hệ quả của bất đẳng thức Cauchy)

Khi đó, \(4\left(a+b\right)^2c\ge16abc\)  \(\left(3\right)\)

Từ  \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right)\)  và  \(\left(3\right)\), ta suy ra  \(a+b\ge16abc\), tức  \(\frac{a+b}{abc}\ge16\)

Dấu  \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(a=b=\frac{1}{4};\)  và  \(c=\frac{1}{2}\)

câu a,mình ko biết nhưng câu b bạn cộng 1+b cho số hạng đầu áp dụng cô si,các số hạng khác tương tự rồi cộng vế theo vế,ta có điều phải c/m

Bạn nói rõ hơn được không???

Để chừng nào t làm được câu 1 thì t giải giúp cho 1 lần luôn

Đặt \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)

Ta có : x + y + z = 1

A = \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right).a.b.c=\frac{x+y}{x.y.z}\)

Ta có : x. y \(\le\)\(\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)

=> A \(\ge\frac{4.\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)^2.z}=\frac{4}{\left(x+y\right).z}\ge\frac{16}{\left(x+y+z\right)^2}=16\left(đpcm\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}z=x+y\\x=y\\x+y+z=1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}z=\frac{1}{2}\\x=y=\frac{1}{4}\end{cases}}}\)

=> a = b = 4 ; c = 2

\(\Leftrightarrow P\left(x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\left(1\right)\)

Áp dụng Bu-nhi :

\(\left(x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}\right)^2\le\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}\le24\)
\(\Leftrightarrow P\left(x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}\right)\le24P\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)\(\left(x+y+z\right)^2\le24P\)

\(\Rightarrow12^2\le24P\)

\(\Rightarrow P\ge6\)
ĐẾN ĐÂY BẠN TỰ GIẢI DẤU \(=\) XẢY RA LÚC NÀO NHÉ

Áp dụng Bu-nhi :

\(12^2<\left(x+y+z\right)^2=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{\sqrt{y}}}.\sqrt{x}.\sqrt{\sqrt{y}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{\sqrt{z}}}.\sqrt{y}.\sqrt{\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{\sqrt{x}}}.\sqrt{z}.\sqrt{\sqrt{x}}\right)^2\)
\(\le\left(\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}\right)\left(x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}\right)\)

Đến đây thôi bạn xem có hiểu ko nhé

( a + b ) ( a + c ) = 8 hay a² + ab + ac + bc = 8

\(\Rightarrow\)a ( a + b + c ) + bc = 8

\(\sqrt{abc\left(a+b+c\right)}=\sqrt{a\left(a+b+c\right).bc}\le\frac{a\left(a+b+c\right)+bc}{2}=4\)

\(\Rightarrow abc\left(a+b+c\right)\le16\)

Vậy GTLN của A là 16 

mình cảm ơn ạ

ko có gì. hihi

Gọi biểu thức\(\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)\)là P.

Có hai trường hợp sau đây:

\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{a+c-b}{b}=\frac{a+b-c+b+c-a+a+c-b}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b-c=c\Rightarrow a+b=2c\\b+c-a=a\Rightarrow b+c=2a\\a+c-b=b\Rightarrow a+c=2b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow P=\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)=\left(\frac{a+b}{a}\right)\left(\frac{a+c}{c}\right)\left(\frac{b+c}{b}\right)=\frac{2c}{a}\cdot\frac{2b}{c}\cdot\frac{2a}{b}=\frac{8abc}{abc}=8\)

\(\Rightarrow a=-\left(b+c\right);b=-\left(a+c\right);c=-\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow P=\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)=\left(\frac{a+b}{a}\right)\left(\frac{a+c}{c}\right)\left(\frac{b+c}{b}\right)=\left(\frac{a+b}{-\left(b+c\right)}\right)\left(\frac{a+c}{-\left(a+b\right)}\right)\left(\frac{b+c}{-\left(a+c\right)}\right)=\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{-\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}=-1\)

Vậy \(P\in\left\{8;-1\right\}\)

bạn cộng tất cả phân số ban đầu vs 2

sẽ đc là:a+b+c/c=a+b+c/a=a+b+c/b

rồi xét 2 trường hợp: a+b+ckhác 0 thì a=b=c nên a+b/a=2,a+c/c=2,c+b/c=2 hay 1+b/a=2,1+a/c=2,1+c/b=2

TH2:a+b+c=0 nên a+b=-c,a+c=-b,b+c=-a nên giá trị biểu thức phải tìm là -1(ở đây bạn phân tích biểu thức phải tìm ra rồi nhân các tử và mẫu vs nhau rồi rút gọn đi ra -1)