Lời giải:
Với $x,y$ là số tự nhiên thì:

$15x=5.3x\vdots 5; 20y=5.4y\vdots 5$

$\Rightarrow 15x+20y\vdots 5$

Mà $2021^{2022}\not\vdots 5$

$\Rightarrow$ không tồn tại $x,y$ tự nhiên thỏa mãn đề bài.

n= 3 hoặc n= 2

Ta có :

\(\frac{2}{7}< \frac{1}{n}< \frac{4}{7}\leftrightarrow\frac{1}{3,5}< \frac{1}{n}< \frac{1}{1,75}\Leftrightarrow3,5>n>1,75\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}n=2\\n=3\end{array}\right.\)

Vậy Số các số tự nhiên n thỏa mãn \(\frac{2}{7}< \frac{1}{n}< \frac{4}{7}\) là 2 ; 3

2

Bài làm

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, có:

\(\frac{x}{7}=\frac{y}{13}=\frac{x-y}{7-13}=\frac{42}{-6}=-7\)

Do đó:

\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{7}=-y\\\frac{y}{13}=-7\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-49\\y=-91\end{cases}}\)

Vậy x = -49; y = -91 

Đặt \(\frac{x}{7}=\frac{y}{13}=k\)

=> x = 7k,y = 13k

=> x - y = 7k - 13k

=> x - y = -6k

=> 42 = -6k

=> k = -7

Vậy x = 7.(-7) = -49 , y = 13.(-7) = -91

                           Áp dụng tính chất dãy tỉ số = nhau ta  có :

                                     \(\frac{x}{7}=\frac{y}{13}=\frac{x-y}{7-13}=\frac{42}{-6}=-7\)

\(\frac{x}{7}=-7=>x=-49\)

\(\frac{y}{13}=-7=>y=-7.13=-91\)

                          Vậy x = -49 và y = -91

\(\left(x-y\right)\left(y+1\right)+y=15\)

=>\(\left(x-y\right)\left(y+1\right)+y+1=16\)

=>(y+1)(x-y+1)=16

mà x,y là các số tự nhiên

nên \(\left(y+1\right)\left(x-y+1\right)=1\cdot16=2\cdot8=4\cdot4=8\cdot2=16\cdot1\)

=>\(\left(y+1;x-y+1\right)\in\left\{\left(1;16\right);\left(2;8\right);\left(4;4\right);\left(8;2\right);\left(16;1\right)\right\}\)

=>\(\left(y;x-y+1\right)\in\left\{\left(0;16\right);\left(1;8\right);\left(3;4\right);\left(7;2\right);\left(15;1\right)\right\}\)

=>\(\left(y,x\right)\in\left\{\left(0;15\right);\left(1;8\right);\left(3;6\right);\left(7;8\right);\left(15;15\right)\right\}\)

P=19/8

giải rõ ra mới biết

*số thực dương

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(P=\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}=\frac{\frac{1}{16}}{x}+\frac{\frac{1}{4}}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{\frac{49}{16}}{1}=\frac{49}{16}\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\frac{\frac{1}{4}}{x}=\frac{\frac{1}{2}}{y}=\frac{1}{z}=\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1}{x+y+z}=\frac{\frac{7}{4}}{1}=\frac{7}{4}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{7}\\y=\frac{2}{7}\\z=\frac{4}{7}\end{cases}}\)

Vậy ...

\(Q=\left(1+\frac{\alpha}{x}\right)\left(1+\frac{\alpha}{y}\right)\left(1+\frac{\alpha}{z}\right)=\left(\frac{\alpha+x}{x}\right)\left(\frac{\alpha+y}{y}\right)\left(\frac{\alpha+z}{z}\right)\)

Mà  \(\alpha=x+y+z\)  (theo gt) nên ta có thể viết  \(Q\)  như sau:

\(Q=\left(\frac{2x+y+z}{x}\right)\left(\frac{x+2y+z}{y}\right)\left(\frac{x+y+2z}{z}\right)=\left(2+\frac{y+z}{x}\right)\left(2+\frac{x+z}{y}\right)\left(2+\frac{x+y}{z}\right)\)

Đặt  \(a=\frac{y+z}{x};\)  \(b=\frac{x+z}{y};\)  và  \(c=\frac{x+y}{z}\)  \(\Rightarrow\)  \(a,b,c>0\)

Khi đó, biểu thức  \(Q\)  được biểu diễn theo ba biến  \(a,b,c\)  như sau:

\(Q=\left(2+a\right)\left(2+b\right)\left(2+c\right)=4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)+abc+8\)

\(\Rightarrow\)  \(Q-8=4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)+abc\)

Mặt khác, ta lại có:

\(a+b+c=\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\)

nên   \(a+b+c+3=\frac{y+z}{x}+1+\frac{x+z}{y}+1+\frac{x+y}{z}+1\)

\(\Rightarrow\) \(a+b+c+3=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Lại có:   \(\hept{\begin{cases}x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\text{ (1)}\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\text{ (2)}\end{cases}}\)   (theo bđt  \(Cauchy\)  lần lượt cho hai bộ số gồm các số không âm)

Nhân hai bđt  \(\left(1\right);\)  và  \(\left(2\right)\)  vế theo vế, ta được bđt mới là:

\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)

Theo đó,  \(a+b+c+3\ge9\)  tức là  \(a+b+c\ge6\)

\(\Rightarrow\)  \(4\left(a+b+c\right)\ge24\)  \(\left(\alpha\right)\)

Bên cạnh đó, ta cũng sẽ chứng minh  \(abc\ge8\)  \(\left(\beta\right)\)

Thật vậy, ta đưa vế trái bđt cần chứng minh thành một biểu thức mới.

\(VT\left(\beta\right)=abc=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{xyz}\ge\frac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{xz}}{xyz}=\frac{8xyz}{xyz}=8=VP\left(\beta\right)\)

Vậy, bđt  \(\left(\beta\right)\)  được chứng minh.

Từ đó, ta có thể rút ra được một bđt mới.

\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\ge3\sqrt[3]{8^2}=12\) (theo cách dẫn trên)

\(\Rightarrow\) \(2\left(ab+bc+ca\right)\ge24\)  \(\left(\gamma\right)\)

Cộng từng vế 3 bđt  \(\left(\alpha\right);\)  \(\left(\beta\right)\)  và  \(\left(\gamma\right)\), ta được:

\(Q-8\ge24+8+24=56\)

Do đó,  \(Q\ge64\)

Dấu   \("="\)  xảy ra khi và chỉ khi  \(a=b=c\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=y=z=2\)

Vậy,  \(Q_{min}=64\)  khi  \(\alpha=6\)

Nguyên Đinh Huynhkhông biết thì thôi đừng có trả lời mất công bạn vovanninh phải đọc

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}+\frac{1}{xy}\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{xy+3}{3xy}\Leftrightarrow\frac{3x+3y}{3xy}=\frac{xy+3}{3xy}\Leftrightarrow3x+3y=xy+3\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(y-3\right)=6\)

Vì x,y là số tự nhiên nên x - 3 và y - 3 thuộc ước của -6 mà ước của -6 là +-1; +-2; +-3; +-6

Ta có bảng:

Vậy có 4 cặp là ......

 Do 10 = 1.10 =10.1 = 2.5 = 5.2 
Mà 2x + 1 lẻ nên 2x + 1 = 1 hoặc 2x + 1 = 5 
=> x = 0 hoặc 2 nhưng x = 0 thì x.y = 0 nên ta chọn x = 2 khi đó y - 3 = 2 
=> y = 5 
Vậy khi đó x.y lớn nhất là : x.y = 2.5 = 10

2x+1 là số lẻ

=> (2x+1)(y-3) = 1.10 = 5.2

+ 2x+1 =1 => x =0 và y -3 =10 => y =13

+ 2x +1 = 5 => x =2 và y-3 =2 => y =5

Tích xy lớn nhất = 2.5 khi x =2 và y =5

Ta có: \(\frac{1}{x}-\frac{y}{8}=\frac{1}{16}\)

=> \(\frac{1}{x}=\frac{1}{16}+\frac{y}{8}\)

=> \(\frac{1}{x}=\frac{1+2y}{16}\)

=> 1.16 = x(1 + 2y)

=> x(1 + 2y) = 16 = 1 . 16 = 2 . 8 = 4.4

Vì 1 + 2y là số lẽ nên 1 + 2y \(\in\){1; -1} => x \(\in\){16; -16}

Lập bảng :

Vậy ...

 :

1x =116 

=>                        => 

        X = 1.16:1 =16

                                      Y=1.8:16= 0.5

y8 =116 

Vậy X = 16 ; Y=0.5       

 :                            

Giải

Ta có 1/x - y/8 = 1/16 

=> 1/x                = 1/16 + y/8 

=> 1/x                = 1/16 + 2y/16

=> 1/x                = 2y+1/16

=> 1.16              = (2y+1).x

=> 16                  = (2y+1).x

Ta thấy Ư(16)={1;2;4;8;16}

Mà 2y +1 là số lẻ nên suy ra 2y+1=1 và x=16

=> y=0 và x=16 

Vậy x=16 và y=0 thoả mãn