Câu a) Tứ giác là hình bình hành bởi vì 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Câu b) MI vuông góc với AB bởi vì trong tam giác ABC: MI là đường trung bình mà AC vuông góc AB suy ra MI vuông góc AB

Câu c) Áp dụng định lý Pytago thì bạn sẽ tính được cạnh AB và sẽ tính được diện tích ABC bằng 30

Gọi E là trung điểm của CD.

Xét tam giác BDC ta có:

M là trung điểm của BC ( gt )

E là trung điểm của CD (cách vẽ)

=> EM là đường trung trực của tam giác BDC.

=> EM // BD => EM // ID ( I thuộc BD )

Xét tam giác AME có:

I là trung điểm của AM (gt)

EM // ID (cmt)

=> D là trung điểm của AE

Xét tam giác AME có:

I là trung điểm của AM (gt)

D là trung điểm của AE (cmt)

=> ID là đường trung bình của tam giác AME.

\(\Rightarrow ID=\frac{1}{2}ME\)

Mà \(ME=\frac{1}{2}BD\) ( ME là đường trung bình của tam giác BDC )

Nên \(ID=\frac{1}{4}BD\left(1\right)\)

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

BC² = AB²+AC² ( Định lý Pitago thuận)

Thay: 

13² = 5² + AC²

169 = 25 + AC² => AC² = 169 - 25 = 144

=> AC² = 12²

=> AC = 12 (cm)

Ta có: AD = ED ( D là trung điểm của AE )

ED = EC ( E là trung điểm của DC)

=> AD = ED = EC

Mà AD + ED + EC = AC (gt)

Nên: AD + AD + AD = AC 

=> 3AD = AC

=> AD = AC/3

Mặt khác AC = 12 cm (cmt)

=> AD = 12/3 = 4 (cm)

Xét tam giác ABD vuông tại A ta có:

BD² = AB²+AD² ( định lý Pitago thuận)

BD² = 5²+4²

BD² = 25 + 20

BD² = 45

=> \(BD=\sqrt{45}\Rightarrow BD=3\sqrt{5}\left(cm\right)\left(2\right)\)

Thế (2) vào (1) ta được:

\(ID=\frac{3\sqrt{5}}{4}\left(cm\right)\left(3\right)\)

Ta có: 

BI + ID = BD ( I thuộc BD )

=> BI = BD - ID (4)

Thế (2), (3) vào (4) ta được:

\(BI=3\sqrt{5}-\frac{3\sqrt{5}}{4}\)

\(BI=3\sqrt{5}\left(1-\frac{1}{4}\right)\)

\(BI=3\sqrt{5}.\frac{3}{4}\)

\(BI=\frac{9\sqrt{5}}{4}\left(cm\right)\)

Lời giải:

Áp dụng định lý Pitago:

$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$ (cm)

$AH=\frac{2S_{ABC}}{BC}=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{5.12}{13}=\frac{60}{13}$ (cm)

$CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{12^2-(\frac{60}{13})^2}=\frac{144}{13}$ (cm)

$BH=BC-CH=13-\frac{144}{13}=\frac{25}{13}$ (cm)

Hình vẽ:

b2 :

a, xét tam giác ABD và tam giác ACE có: góc A chung

AB = AC do tam giác ABC cân tại A (gt)

góc ADB = góc AEC = 90

=> tam giác ABD = tam giác ACE (ch-cgv)

b, tam giác ABD = tam giác ACE (câu a)

=> góc ABD = góc ACE (đn)

góc ABC = góc ACB do tam giác ABC cân tại A (gt)

góc HBC = góc ABC - góc ABD

góc HCB = góc ACB - góc ACE 

=> góc HBC = góc HCB 

=> tam giác HBC cân tại H (Dh)

còn câu 1

a) Xét tứ giác  \(ADBC\) ta có :

\(IB=IA\left(g.t\right)\)

\(IC=IC\) ( \(D\) đối xứng qua \(I\))

Vì tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường 

Vậy tứ giác \(ADBC\) là hình bình hành 

b) Xét \(\Delta ABC\) ta có :

\(IA=IB\left(g.t\right)\)

\(MB=MC\left(g.t\right)\)

\(\Rightarrow IM\) là đường trung bình \(\Delta ABC\)

Do đó : \(IM\text{/ / }AC\)

Mà \(AB\text{⊥}AC\left(A=90^o\right)\)

Vậy \(IM\text{⊥}AB\)

Áp dụng định lí pytago  \(\Delta ABC\) ta có :

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12\left(cm\right)\)

\(S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{1}{2}.13.5=30\left(cm^2\right)\)

Áp dụng định lí Pytago tam giác ABC vuông tại A

\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=12cm\)

Ta có : \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC;S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC\Rightarrow AB.AC=AH.BC\)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{60}{13}cm\)

Theo định lí Pytago tam giác ABH vuông tại H

\(BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\dfrac{25}{13}cm\)

-> CH = BC - BH = \(13-\dfrac{25}{13}=\dfrac{154}{13}\)cm