Ta có b^2=ac =>a/b=c/d. Đặt a/b=c/d=k(khác 0) =>a=bk;b=ck                                                                                                                                                                                    =>a/c=c.k^2/c=k^2   (1)                                                                                                                                                                                                                                            (a+2015b)^2/(b+2015c)^2=(bk+2015b/ck+2015c)^2=(b(k+2015)/(c(k+2015))^2=(b/c)^2=(ck/c)^2=k^2 (2)                                                                                                                Từ (1) và (2) => a/c=(a+2015b/b+2015c)^2 => (đpcm)

Ta có:\(b^2=ac\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}=\frac{a}{c}\)

Mà\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{2015b}{2015c}=\frac{a+2015b}{b+2015c}\)

Nên suy ra\(\frac{a}{c}=\frac{a^2}{b^2}=\left(\frac{a+2015b}{b+2015c}\right)^2=\frac{\left(a+2015b\right)^2}{\left(b+2015c\right)^2}\)

           Vậy\(\frac{a}{c}=\frac{\left(a+2015b\right)^2}{\left(b+2015c\right)^2}\left(đpcm\right)\)

\(a+b+c=abc\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)

Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow xy+yz+zx=1\)

\(VT=\frac{x^2yz}{1+yz}+\frac{xy^2z}{1+zx}+\frac{xyz^2}{1+xy}=\frac{x^2yz}{xy+yz+yz+zx}+\frac{xy^2z}{xy+zx+yz+zx}+\frac{xyz^2}{xy+yz+xy+zx}\)

\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{x^2yz}{xy+yz}+\frac{x^2yz}{yz+zx}+\frac{xy^2z}{xy+zx}+\frac{xy^2z}{yz+zx}+\frac{xyz^2}{xy+yz}+\frac{xyz^2}{xy+zx}\right)\)

\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{x^2y}{x+y}+\frac{xy^2}{x+y}+\frac{y^2z}{y+z}+\frac{yz^2}{y+z}+\frac{x^2z}{x+z}+\frac{xz^2}{x+z}\right)\)

\(VT\le\frac{1}{4}\left(xy+yz+zx\right)=\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)

C, d của VT đâu b

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz dạng Engel ta có :

\(VT\ge\frac{\left(2b+3c+2c+3a+2a+3b\right)^2}{a+b+c}\)

\(=\frac{\left(5a+5b+5c\right)^2}{a+b+c}=\frac{\left[5\left(a+b+c\right)\right]^2}{a+b+c}\)

\(=\frac{25\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=25\left(a+b+c\right)=VP\)

=> đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c