Ta có: \(A=\frac{x^2+25x+144}{x}=x+\frac{144}{x}+25\)

Các số dương : x và \(\frac{144}{x}\) có tích k đổi nên tổng nhỏ nhất và chỉ khi  \(x=\frac{144}{x}\)=> x=12

Vậy Min A = 49 khi và chỉ khi x=12

\(A=\frac{\left(x+16\right)\left(x+9\right)}{x}=\frac{x^2+25x+144}{x}=x+25+\frac{144}{x}\)

Vì \(x>0\)\(\Rightarrow\) Áp dụng bđt Cô si ta có:

\(x+\frac{144}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{144}{x}}=2.\sqrt{144}=2.12=24\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{144}{x}\)\(\Leftrightarrow x^2=144\)\(\Leftrightarrow x=12\)( do \(x>0\))

\(\Rightarrow A\ge25+24=49\)

Vậy \(minA=49\)\(\Leftrightarrow x=12\)

\(A=\frac{\left(x+16\right)\left(x+9\right)}{x}=\frac{x^2+25x+144}{x}=x+25+\frac{144}{x}\)

Với x > 0, áp dụng bđt Cauchy ta có :

\(A=x+25+\frac{144}{x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{144}{x}}+25=24+25=49\)

Đẳng thức xảy ra khi x = 12

Vậy MinA = 49, đạt được khi x = 12

Ta có : \(A=\frac{x^2+25x+144}{x}=x+\frac{144}{x}+25\)

Các số dương \(x\)và \(\frac{144}{x}\)Có tích ko đổi nên tổng nhỏ nhất khi và chỉ khi \(x=\frac{144}{x}\)

\(\Rightarrow x=12\)

Vậy \(Min\)\(A=49\Leftrightarrow x=12\)

Ta có: 

\(A=\frac{\left(x+16\right)\left(x+19\right)}{x}\)

\(=\frac{x^2+25x+144}{x}=\frac{\left(x+12,5\right)^2-12,25}{x}\)

\(=\frac{\left(x+12,5\right)^2}{x}-\frac{12,25}{x}\ge\frac{-12,5}{x}\forall x>0\)

Đến đây dễ rồi bạn tự làm nốt !

\(A=\frac{\left(x+16\right)\left(x+9\right)}{x}=\frac{x^2+25x+144}{x}\)

\(=x+25+\frac{144}{x}\)

Có x > 0, Áp dụng BĐT Cô-si với hai số x và 144/x

\(x+\frac{144}{x}\ge2.\sqrt{x.\frac{144}{x}}=24\)

\(\Leftrightarrow x+25+\frac{144}{x}\ge24+25=49\)

Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{144}{x}\Leftrightarrow x^2=144\Leftrightarrow x=12\)

Vậy \(Min_A=49\Leftrightarrow x=12\)

1) Ta có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)

\(\Rightarrow Min\)\(A=2\Leftrightarrow a=b\)

2) Ta có : xy < 0 => Một trong hai số x,y tốn tại một số âm và một số dương.

Ta xét hai trường hợp : 

1. Với \(x< 0< y\), ta có : 

\(P=\frac{xy}{\left|xy\right|}+\frac{x-y}{\left|x-y\right|}\left(\frac{x}{\left|x\right|}+\frac{y}{\left|y\right|}\right)=\frac{xy}{-xy}+\frac{x-y}{-\left(x-y\right)}\left(\frac{x}{-x}+\frac{y}{y}\right)=-1-1\left(-1+1\right)=-1\)

2. Với \(y< 0< x\) ta có : 

\(P=\frac{xy}{\left|xy\right|}+\frac{x-y}{\left|x-y\right|}\left(\frac{x}{\left|x\right|}+\frac{y}{\left|y\right|}\right)=\frac{xy}{-xy}+\frac{x-y}{x-y}\left(\frac{x}{x}+\frac{y}{-y}\right)=-1+1.\left(1-1\right)=-1\)

Vậy ta kết luận : Với xy<0 thì giá trị của P là : -1

1. Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương a, b, c ta có:

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)Nhán vế theo vế 2 BĐT vừa tìm được với nhau ta được:

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\sqrt[3]{abc\cdot\frac{1}{abc}}=9\)Vậy GTNN của ... là 9 đạt được khi a = b = c

2.\(x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)=\left[x\left(x+3\right)\right]\left[\left(x+1\right)\left(x+2\right)\right]\)\(=\left(x^2+3x\right)\left(x^2+3x+2\right)\)(1)

Đặt \(x^2+3x+1=a\)\(\Rightarrow\left(1\right)=\left(a-1\right)\left(a+1\right)=a^2-1\ge-1\)

Vậy GTNN của ... là -1 đạt được khi \(a^2=0\Leftrightarrow a=0\Leftrightarrow x^2+3x+1=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}\\x=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)

Dòng cuối mình nhầm nhé !!

Bỏ dòng cuối thay bằng cái này !!!!

\(A\ge a+b+2\sqrt{ab}\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{ab}=4\sqrt{ab}\) (\(a+b\ge2\sqrt{ab}\))

\(A=\frac{x^2+ax+bx+ab}{x}=x+a+b+\frac{ab}{x}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 2 số dương \(x;\frac{ab}{x}\) ta có :

\(x+\frac{ab}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{ab}{x}}=2\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow A\ge a+b+2\sqrt{ab}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\ge0\)có GTNN là 0

Với \(a,b,x>0\) thì theo BĐT Cô - si ta có :

\(x+a\ge2\sqrt{xa}>0\)

\(x+b\ge2\sqrt{xb}>0\)

\(\Rightarrow\left(x+a\right)\left(x+b\right)\ge4x\sqrt{ab}>0\)

\(\Rightarrow\frac{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}{x}\ge4\sqrt{ab}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=a=b\)