\(1,\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\left(tg.ABC\perp A\right)\\ \Rightarrow\widehat{B}=90^0-60^0=30^0\\ 2,\tan\widehat{C}=\dfrac{AB}{AC}=\tan60^0=\sqrt{3}\Leftrightarrow AB=15\sqrt{3}\left(cm\right)\\ 3,BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=30\left(cm\right)\left(pytago\right)\)

Ta có:

\(OA+OB< AC+BC\)

\(OA+OC< AB+BC\)

\(OC+OB< AB+AC\) 

Cộng theo từng vế ba bất đẳng thức trên ta được :

\(2\left(OA+OB+OC\right)< 2\left(AB+AC+BC\right)\)

hay \(OA+OB+OC< AB+AC+BC\)(1)

Mặt khác trong các tam giác OAB,OBC,OCA,theo bất đẳng thức tam giác ta lại có :

\(OA+OB>AB\)

\(OB+OC>BC\)

\(OC+OA>AC\)

Cộng theo từng vế ba bất đẳng thức trên, ta được :

\(2\left(OA+OB+OC\right)>AB+BC+AC\)

hay \(OA+OB+OC>\frac{AB+AC+BC}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) :

\(\Rightarrow\frac{AB+AC+BC}{2}< OA+OB+OC< AB+AC+BC.\)

bài này nó sai sai ở chỗ AN=AM đấy

mình lộn 

bài này c/m được đấy

ai giúp với

a.

Áp dụng hệ thức lượt trong tam giác vuông ta có:

$\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{AC^2}=\frac{1}{AH^2}-\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{3a^2}$

$\Rightarrow AC=\sqrt{3}a$

$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$

b.

$HB=\frac{BC}{4}$ thì $HC=\frac{3}{4}BC$

$\Rightarrow \frac{HB}{HC}=\frac{1}{3}$

Áp dụng hệ thức lượt trong tam giác vuông:

$AB^2=BH.BC; AC^2=CH.BC$

$\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\sqrt{\frac{BH}{CH}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Áp dụng định lý Pitago:

$4a^2=BC^2=AB^2+AC^2=(\frac{\sqrt{3}}{3}.AC)^2+AC^2$

$\Rightarrow AC=\sqrt{3}a$

$\Rightarrow AB=a$

c. 

Áp dụng hệ thức lượt trong tam giác vuông:

$AB^2=BH.BC$

$\Leftrightarrow AB^2=BH(BH+CH)$

$\Leftrightarrow a^2=BH(BH+\frac{3}{2}a)$

$\Leftrightarrow BH^2+\frac{3}{2}aBH-a^2=0$

$\Leftrightarrow (BH-\frac{a}{2})(BH+2a)=0$

$\Rightarrow BH=\frac{a}{2}$
$BC=BH+CH=2a$

$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{3}a$

d. Tương tự phần a.

Hình vẽ:

a: Xét ΔABD và ΔAMD có

AB=AM

\(\widehat{BAD}=\widehat{MAD}\)

AD chung

Do đó: ΔABD=ΔAMD

b: Ta có: ΔABD=ΔAMD

=>DB=DM và \(\widehat{ABD}=\widehat{AMD}\)

c: Ta có: \(\widehat{ABD}+\widehat{NBD}=180^0\)(hai góc kề bù)

\(\widehat{AMD}+\widehat{CMD}=180^0\)(hai góc kề bù)

mà \(\widehat{ABD}=\widehat{AMD}\)

nên \(\widehat{NBD}=\widehat{CMD}\)

Xét ΔDBN và ΔDMC có

\(\widehat{DBN}=\widehat{DMC}\)

DB=DM

\(\widehat{BDN}=\widehat{MDC}\)

Do đó: ΔDBN=ΔDMC

d: Ta có: ΔABD=ΔAMD

=>BD=MD

=>D nằm trên đường trung trực của BM(1)

ta có: AB=AM

=>A nằm trên đường trung trực của BM(2)

Từ (1) và (2) suy ra AD là đường trung trực của BM

=>AD\(\perp\)BM

Ta có: ΔDBN=ΔDMC

=>BN=MC

Xét ΔABC có \(\dfrac{AB}{BN}=\dfrac{AM}{MC}\)

nên BM//NC