Bài này hơi khó
Ko bắt giải
Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn a +b + c <1 . Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab+\left(a+b\right)}+\dfrac{1}{bc+\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{ca+\left(c+a\right)}< \dfrac{87}{2}\)
Help ạ
Các bạn giúp mình bài này với!
Cho a, b, c là các số thực DƯƠNG thoả mãn \(a+b+c=\sqrt{abc}\) . CMR: \(ab+bc+ca\ge9\left(a+b+c\right)\).
Ta có:\(\sqrt{abc}=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)\(\Rightarrow\left(\sqrt{abc}\right)^6\ge\left(3\sqrt[3]{abc}\right)^6\Leftrightarrow\left(abc\right)^3\ge3^6\left(abc\right)^2\)
\(\Leftrightarrow abc\ge3^6\)(1).Lại có:\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\)
BĐT cần chứng minh tương đương với:\(3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\ge9\sqrt{abc}\Leftrightarrow\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\ge3\sqrt{abc}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\right)^6\ge\left(3\sqrt{abc}\right)^6\)\(\Leftrightarrow\left(abc\right)^4\ge3^6\left(abc\right)^3\Leftrightarrow abc\ge3^6\).Điều này luôn đúng theo (1)
Suy ra:\(ab+bc+ca\ge9\sqrt{abc}=9\left(a+b+c\right)\).Hoàn tất chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=9\)
Bạn có cách nào mà ko dùng BĐT Cauchy 3 số ko?
Cho A B C là Các Số Thực Dương thoả mãn A+b+c=6
các số thực dương là các số > 0 ( kể cả phân số , số thập phân , số vô tỉ )
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn \(a^2+b^2+c^2+abc=4\)
Chứng minh rằng: \(b+c\le2\sqrt{2-a}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn a+b+c=1
CMR (a+bc)/(b+c)+(b+ca)/(c+a)+(c+ab)/(a+b) >=2
Cho a b c là các số thực dương thoả mãn 1/a +1/b +1/c =3 tìm max P =
Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn : a/b=b/c=c/a
Tính S= (4a-5b+2019c)/(5a-5b+2020c)
ta co: \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1.\)
=> a = b = c
\(\Rightarrow S=\frac{4a-5b+2019c}{5a-5b+2020c}=\frac{4a-5a+2019a}{5a-5a+2020c}=\frac{2018a}{2020a}=\frac{1009}{1010}\)
ta co: a/b=b/c=c/a = (a+b+c)/(b+c+a) = 1
=> a/b = 1 => a = b
b/c = 1 => b = c
=> a = b = c
\(\Rightarrow S=\frac{4a-5a+2019a}{5a-5a+2020a}=\frac{2018a}{2020a}=\frac{1009}{1010}.\)
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1\)
\(\text{Suy ra :}\)
\(\frac{a}{b}=1\Leftrightarrow a=b\)(1)
\(\frac{b}{c}=1\Leftrightarrow b=c\)(2)
\(\text{Từ (1) và (2) suy ra }:\): \(a=b=c\)
\(S=\frac{4a-5b+2019c}{5a-5b+2020c}=\frac{4a-5a+2019a}{5a-5a+2020a}=\frac{2018a}{2020a}=\frac{1009}{1010}\)
>Chúc bạn học tốt<
Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn a + b + c = 3. tìm giá trị lớn nhất của P = √a+b + √b+c + √c + a
Ta có:
\(P^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\le\left(a+b+b+c+c+a\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\)
\(=6\left(a+b+c\right)=18\)
Suy ra \(P\le3\sqrt{2}\)
Dấu \(=\) xảy ra khi \(a=b=c=1\).
Cho a b c là các số thực dương thoả mãn 1/a +1/b + 1/c =1 cmr (a-1)(b-1)(c-1)=< 1/8 (a+1)(b+1)(c+1)
omgggggggggggggomgomgomgggomggomgo
Tìm tất cả các số thực dương a, b, c thoả mãn đẳng thức \(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{c+a}=\dfrac{3}{2}\)
Đặt lần lượt x=a+b ; y=b+c; z=c+a
Thì ta có: a=\(\dfrac{x+z-y}{2}\);b=\(\dfrac{x+y-x}{2}\);c=\(\dfrac{y+z-x}{2}\)
Ráp vào BT ban đầu ta có:
\(\dfrac{z+x-y}{2y}\)+\(\dfrac{x+y-z}{2z}\)+\(\dfrac{y+z+x}{2x}\)=\(\dfrac{x+z-y}{\dfrac{2}{ }y}+\dfrac{x+y-z}{\dfrac{2}{z}}+\dfrac{y+z-x}{\dfrac{2}{x}}\)
Đến đây bạn đặt \(\dfrac{1}{2}\) chung ở vế trái sau đó chuyển vế là tính được nha