Bài 1:

 Các đại biểu tương ứng với 6 điểm A, B, C, D, E, F. Hai đại biểu X và Y nào đó mà quen nhau thì ta tô đoạn thẳng XY bằng màu xanh còn nếu X vá Y không quen nhau thì tô đoạn XY màu đỏ.

    Xét 5 đoạn thẳng AB, AC, AD, AE, AF: Theo nguyên tắc Dirichlet thì tồn tại ba đoạn cùng màu. Giả sử AB, AC, AD màu xanh. Xét ba điểm B, C, D: vì 3 đại biểu nào cũng có hai người quen nhau suy ra một trong ba đoạn BC, CD, DB màu xanh.

     Giả sử BC màu xanh thì A, B, C đôi một quen nhau.

     Còn nếu AB, AC, AD màu đỏ thì B, C, D đôi một quen nhau.

Theo nguyên lý Di-rich-le ta suy ra: Tồn tại hai số trong 20 số khi chia cho 19 có cùng số dư. Suy ra hiệu của hai số đó chia hết cho 19.

Giả sử 10ⁿ, 10^m là hai số có cùng số dư khi chia cho 19 (1 ≤ n < m ≤ 20).

10^m-n – 1 ⋮ 19

Bài 3: 

Một số tự nhiên n khi chia cho 12 chỉ có thể có số dư là 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11

Do n là nguyên tố lớn hơn 3 nên khi n chia cho 12 chỉ có thể có số dư là: 1;5;7;11

Mặt khác, cho 5 số nguyên tố theo nguyên lí Direchlet tồn tại 2 số có chung số dư khi chia cho 12.

=> Tồn tại 2 chữ số có hiệu chia hết cho 12.

Trong câu hỏi tương tự có rất nhiều bài giải về câu hỏi này . Bạn có thể tham khảo các cách giải trong đó nha .

 bạn nhấn vào đây

Cho 10 số tự nhiên bất kì :a1;a2;a3;...;a10.Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc tổng các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10

Đặt S1 = a1 ; S2 = a1+a2; S3 = a1+a2+a3; ...; S10 = a1+a2+ ... + a10 
...Xét 10 số S1, S2, ..., S10.Có 2 trường hợp : 
...+ Nếu có 1 số Sk nào đó tận cùng bằng 0 (Sk = a1+a2+ ... +ak, k từ 1 đến 10) ---> tổng của k số a1, a2, ..., ak chia hết cho 10 (đpcm) 
...+ Nếu không có số nào trong 10 số S1, S2, ..., S10 tận cùng là 0 ---> chắc chắn phải có ít nhất 2 số nào đó có chữ số tận cùng giống nhau.Ta gọi 2 số đó là Sm và Sn (1 =< m < n =< 10) 
...Sm = a1+a2+ ... + a(m) 
...Sn = a1+a2+ ... + a(m) + a(m+1) + a(m+2) + ... + a(n) 
...---> Sn - Sm = a(m+1) + a(m+2) + ... + a(n) tận cùng là 0 
...---> tổng của n-m số a(m+1), a(m+2), ..., a(n) chia hết cho 10 (đpcm)