Giải

a) Do AD = DE nên MD là một đường trung tuyến của tam giác AEM. Hơn nữa do

Nên C là trọng tâm của tam giá AEM.

b) Các đường thẳng AC, EC lần lượt cắt EM, AM tại F, I. Tam giác AEM có các đường trung tuyến là AF, EI, MD. Ta có ∆ADB = ∆EDG (c.g.c) nên AB = EC

Vậy:

c) Trước tiên, theo giả thiết, ta có AD = DE nên

Gọi BP, CQ là các trung tuyến của ∆ABC.

∆BCP = ∆MCF => . Ta sẽ chứng minh

Ta có:

Hai tam giác ACQ và CAI có cạnh AC chung, ;

nên chúng bằng nhau.

Vậy .

Tóm lại:

Các đường thẳng AC, EC lần lượt cắt EM, AM tại F, I. Tam giác AEM có các đường trung tuyến là AF, EI, MD. Ta có ΔADB = ΔEDC (c.g.c) nên AB = EC

Vậy: AC = 2/3 AF; BC = CM = 2/3 MD; AB = EC = 2/3 EI

Trước tiên, theo giả thiết, ta có AD = DE nên AD = 1/2 AE

Gọi AM, BN, CP là các đường trung tuyến của ∆ABC cắt nhau tại G.

                        AG = GD (gt)

                        AG = 2GM (suy ra từ tính chất đường trung tuyến)

Nên            GD  = 2GM

                   GD = GM + MD

=> GM = MD

Xét ∆BMD và ∆CMG:

                   BM = CM (gt)

\(\widehat{BND}=\widehat{CMG}\left(\text{đối đỉnh}\right)\)

                    MD = GM (chứng minh trên)

Do đó: ∆BMD = ∆CMG (c.g.c)

=> BD = CG

\(CG=\frac{2}{3}CP\left(\text{tính chất đường trung tuyến}\right)\)

\(\Rightarrow BD=\frac{2}{3}CP\) (1)

     \(BG=\frac{2}{3}BN\left(\text{tính chất đường trung tuyến}\right)\) (2)

    \(AG=\frac{2}{3}AM\left(\text{tính chất đường trung tuyến}\right)\)

\(\Rightarrow GD=\frac{2}{3}AM\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra các cạnh của \(\Delta BGD=\frac{2}{3}\) các đường trung tuyến của \(\Delta ABC\)

GM = MD (chứng minh trên)

Nên BM = MD là đường trung tuyến của ∆BGD

\(BM=\frac{1}{2}BC\) (4)

Kẻ đường trung tuyến GE và DF của ∆BGD 

\(\Rightarrow FG=\frac{1}{2}BG\)

\(GN=\frac{1}{2}BG\left(\text{tính chất đường trung tuyến}\right)\) 

Nên FN = GN

Xét ∆DFG và ∆ANG:

AG = GD (gt)

\(\widehat{DGF}=\widehat{AGN}\left(\text{đối đỉnh}\right)\)

GF = GN (chứng minh trên)

Do đó ∆DFG  = ∆ANG (c.g.c)

=> DF = AN            

\(AN=\frac{1}{2}AC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow DF=\frac{1}{2}AC\) (5)

  BD = CG (chứng minh trên)

\(ED=\frac{1}{2}BD\left(\text{vì E là trung điểm BD}\right)\)

\(GP=\frac{1}{2}CG\left(\text{tính chất đường trung tuyến}\right)\)

=> ED = GP

∆BDM = ∆CGM (chứng minh trên)

\(\Rightarrow\widehat{BDM}=\widehat{CGM}\text{ hay }\widehat{CGM}\)

\(\widehat{CGM}=\widehat{PGA}\left(\text{đối đỉnh}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{EDG}=\widehat{PGA}\)

             AG = GD (gt)

=> ∆PGA = ∆EDG (c.g.c)

=> GE = AP

\(\Rightarrow GE=\frac{1}{2}AB\)(6)

Từ (4),(5) và (6) suy ra các đường trung tuyến của ∆BGD bằng một nửa cạnh của ∆ABC.

KHÔNG BIẾT VÌ HỌC LỚP 6