222³³³ = ( 2³)¹¹¹=8¹¹¹

333²²²= ( 3²)¹¹¹ =9¹¹¹

vì 8¹¹¹ < 9¹¹¹

nên 222³³³ < 333²²²

a) (222³)¹¹¹ và (333²)¹¹¹

(2 . 111)³ và (3 . 111)²

8 . 111³ và 9 . 111²

888 . 111² và 9 . 111²

Vậy: 222³³³ > 333²²²

a) Ta có \(222^2=\left(2\cdot111\right)^{3\cdot111}=8^{111}\cdot\left(111^{111}\right)^2\cdot111^{111}\)

\(333^{222}=\left(3\cdot111\right)^{2\cdot111}=9^{111}\cdot\left(111^{111}\right)^2\)

\(\Rightarrow222^{333}>333^{222}\)

b) Để số \(\overline{1x8y2}⋮36\left(0\le x,y\le9,x,y\in N\right)\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(1+x+8+y+2\right)⋮9\\\overline{y2}⋮4\end{cases}\)

\(\overline{y2}⋮4\Rightarrow y=\left\{1;3;5;7;9\right\}\)

\(\left(x+y+2\right)⋮9\Rightarrow x+y=7\) hoặc \(x+y=16\Rightarrow x=\left\{6;4;2;0;9;7\right\}\)

Vậy ta có các số: \(16812;14832;12852;10872;19872;17892\)

c) Ta có \(a>28\Rightarrow\left(2002-1960\right)⋮a\Rightarrow42⋮a\Rightarrow a=42\)

\(\overline{1x8y2}\) chia hết 36 suy ra chia hết cho 4 và 9

\(\overline{1x8y2}\) chia hết 4 luận ra được 2 chữ số tận cùng chia hết 4

\(\Rightarrow\overline{y2y2}\) chia hết 4

\(\Rightarrow y\in\left\{1;3;5;7;9\right\}\)

Từ đó \(\overline{1x8y2}\) chia hết cho 9

Ta có \(1+x+8+y+2\) chia hết 9

Cuối cùng có 6 số cần tìm là \(16812;14832;12852,10872;19872;17892.\)

1)

\(222^{333}\)   và  \(333^{222}\)

\(222^{333}=\left(222^3\right)^{111}=10941048^{111}\)

\(333^{222}=\left(333^2\right)^{111}=110889^{111}\)

 vì \(10941048^{111}>110889^{111}\Rightarrow222^{333}>333^2\)

 2)

\(1x8y2⋮36\Rightarrow1x8y2⋮4;1x8y2⋮9\)

\(1x8y2⋮4\Leftrightarrow y2⋮\Leftrightarrow y=\left\{1;5;9\right\}\)

-nếu\(y=1\Rightarrow1x812⋮9\Leftrightarrow\left(1+x+8+1+2\right)⋮9\Leftrightarrow12+x⋮9\Leftrightarrow x=6\)nếu \(y=5\Rightarrow1x852⋮9\Leftrightarrow\left(1+x+8+5+2\right)⋮9\Leftrightarrow16+x⋮9\Leftrightarrow x=2\)nếu \(y=9\Rightarrow1x892⋮9\Leftrightarrow\left(1+x+8+9+2\right)⋮9\Leftrightarrow20+x⋮9\Leftrightarrow x=7\) 

5)

gọi số cần tìm là :A

Chia cho 29 dư 5 nghĩa là 

A= 29p+5 (p thuộc N)

tương tự ta có A=31q+28 (q thuộc N)

nên :29p+5=31q+28=>29(p-q) =2q+23

ta thấy : 2q+23 là số lẻ => 29(p-q) cũng là số lẻ => p-q >=1

theo giả thiết A nhỏ nhất => q nhỏ nhất (A= 21q+28)

=> 2q=29(p-q)-23 nhỏ nhất 

=>p-q nhỏ nhất

do đó p-q=1=> 2q=29-23=6=>q=3

vậy A=31q+28=31.3+28=121

\(222^{333}=\left(2.111\right)^{3.111}=8^{111}\left(111^{111}\right)^2.111^{111}\)

\(333^{222}=\left(3.111\right)^{2.111}=9^{111}\left(111^{111}\right)^2\)

\(\Rightarrow222^{333}=333^{222}\)