Heron !! Thay S theo heron Biến đôie biểu thức <=> b^+c^2 = a^2 => Q.E.D

a)Có \(b^2+c^2-a^2=cosA.2bc\)

\(S=\dfrac{1}{2}bc.sinA\)\(\Rightarrow4S=2bc.sinA\)

\(\Rightarrow\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4S}=\dfrac{cosA.2bc}{2bc.sinA}=cotA\) (dpcm)

b) CM tương tự câu a \(\Rightarrow\dfrac{a^2+c^2-b^2}{4S}=\dfrac{cosB.2ac}{2ac.sinB}=cotB\); \(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{4S}=\dfrac{cosC.2ab}{2ab.sinC}=cotC\)

Cộng vế với vế \(\Rightarrow cotA+cotB+cotC=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4S}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{4S}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{4S}\)\(=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4S}\) (dpcm)

c) Gọi m_a;m_b;m_c là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A;B;C của tam giác ABC 

Có \(GA^2+GB^2+GC^2=\dfrac{4}{9}\left(m_a^2+m_b^2+m_b^2\right)\)\(=\dfrac{4}{9}\left[\dfrac{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}{4}+\dfrac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2}{4}+\dfrac{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}{4}\right]\)

\(=\dfrac{4}{9}.\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{4}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\) (đpcm)

d) Có \(a\left(b.cosC-c.cosB\right)=ab.cosC-ac.cosB\)

\(=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2}-\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2}\)

\(=b^2-c^2\) (dpcm)

ban tu ve hinh nnha 

ta co \(SABC=\frac{bc}{2}=\frac{2bc}{4}\)

ma tam giac ABC vuong tai A nen ta co \(a^2=b^2+c^2\)

nen \(SABC=\frac{2bc}{4}=\frac{\left(b^2+c^2-a^2\right)+2bc}{4}=\frac{\left(b+c\right)^2-a^2}{4}\)

                   \(=\frac{\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)}{4}\)

\(\Rightarrow4S=\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\)

Năm nắng mười mưa

a = 60cm

p = 160/2 = 80cm

p = \(\dfrac{a+b+c}{2}\) (1) => \(\dfrac{2p-a}{2}\) = \(\dfrac{b+c}{2}\)

Vì a, p là 1 hằng số nên để S đạt GTLN <=> (p-b) và (p-c) đạt GTLN

Áp dụng bđt Cosin, ta có:

\(\sqrt{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\) <= \(\dfrac{p-b+p-c}{2}\) = \(\dfrac{2p-b-c}{2}\)

=> \(\dfrac{S}{\sqrt{p\left(p-a\right)}}\) <= \(p-\dfrac{b+c}{2}\) = \(p-\dfrac{2p-a}{2}\) = \(\dfrac{a}{2}\)

=> 2S <= \(a\sqrt{p\left(p-a\right)}\) = \(60\sqrt{80.\left(80-60\right)}\) = 2400

=> S <= 1200 (\(cm^2\))

Dấu "=" xảy ra

<=> \(p-b\) = \(p-c\)

<=> b = c

Thay b = c vào (1), ta được:

p = \(\dfrac{a+2b}{2}\) => 80 = \(\dfrac{60+2b}{2}\) => b = c = 50 (cm)

=> đpcm

a) Diện tích hình tam giác ABM lớn hơn diện tích hình tam giác AMC. (S)

b) Diện tích hình tam giác ABM bằng diện tích hình tam giác AMC (Đ)

c) Diện tích hình tam giác ABM bằng nửa diện tích hình tam giác ABC. (Đ)