\(lim\left(\sqrt{mx^2+nx+20}-3x\right)=lim\frac{mx^2+nx+20-9x^2}{\sqrt{mx^2+nx+20}+3x}\)

\(=lim\frac{\left(m-9\right)x^2+nx+20}{\sqrt{mx^2+nx+20}+3x}=lim\frac{\left(m-9\right)x+n+\frac{20}{x}}{\sqrt{m+\frac{n}{x}+\frac{20}{x^2}}+3}=\frac{8}{3}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m-9=0\\\frac{n}{\sqrt{m}+3}=\frac{8}{3}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=9\\n=16\end{cases}}\).

a. \(lim_{x\rightarrow3}\dfrac{x^3-27}{3x^2-5x-2}=\dfrac{3^3-27}{3.3^2-5.3-2}=\dfrac{0}{10}=0\)

b. \(lim_{x\rightarrow2}\dfrac{\sqrt{x+2}-2}{4x^2-3x-2}=\dfrac{\sqrt{2+2}-2}{4.2^2-3.2-2}=\dfrac{0}{8}=0\)

c. \(lim_{x\rightarrow1}\dfrac{1-x^2}{x^2-5x+4}=lim_{x\rightarrow1}\dfrac{\left(1-x\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x-4\right)}=lim_{x\rightarrow1}\dfrac{-\left(x+1\right)}{x-4}=\dfrac{-\left(1+1\right)}{1-4}=\dfrac{2}{3}\)

d. Câu này mình chịu, nhìn đề hơi lạ so với bình thường hehe

** Lần sau bạn chú ý viết đề bằng công thức toán để được hỗ trợ tốt hơn!

(biểu tượng $\sum$ ở góc màn hình bên trái)

Lời giải:\(\lim\limits_{x\to -\infty}(\sqrt[3]{6x^2-8x^3}+2x)=\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{6x^2-8x^3+8x^3}{\sqrt[3]{(6x^2-8x^3)^2}-2x\sqrt[3]{6x^2-8x^3}+4x^2}\)

\(=\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{6x^2}{\sqrt[3]{(6x^2-8x^3)^2}-2x\sqrt[3]{6x^2-8x^3}+4x^2}\)

\(=\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{6}{\sqrt[3]{\frac{36}{x^2}-\frac{96}{x}+64}-2\sqrt[3]{\frac{6}{x}-8}+4}\)

\(=\frac{6}{\sqrt[3]{64}-2\sqrt[3]{-8}+4}=\frac{1}{2}\)

** Lần sau bạn chú ý viết đề bằng công thức toán để được hỗ trợ tốt hơn!

(biểu tượng $\sum$ ở góc màn hình bên trái)

Lời giải:\(\lim\limits_{x\to -\infty}(\sqrt[3]{6x^2-8x^3}+2x)=\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{6x^2-8x^3+8x^3}{\sqrt[3]{(6x^2-8x^3)^2}-2x\sqrt[3]{6x^2-8x^3}+4x^2}\)

\(=\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{6x^2}{\sqrt[3]{(6x^2-8x^3)^2}-2x\sqrt[3]{6x^2-8x^3}+4x^2}\)

\(=\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{6}{\sqrt[3]{\frac{36}{x^2}-\frac{96}{x}+64}-2\sqrt[3]{\frac{6}{x}-8}+4}\)

\(=\frac{6}{\sqrt[3]{64}-2\sqrt[3]{-8}+4}=\frac{1}{2}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{6x^2}{\sqrt[3]{\left(6x^2-8x^3\right)^2}-2x\sqrt[3]{6x^2-8x^3}+4x^2}=\dfrac{3}{2}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+x}-x\right)\\ =\lim\limits_{x→-\infty}\dfrac{x^3+x-x^3}{\left(\sqrt[3]{x^3+x}\right)^2+x\sqrt[3]{x^3+x}+x^2}\\ =\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{\dfrac{1}{x}}{\left(\sqrt[3]{1+\dfrac{1}{x^2}}\right)^2+\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}+1}\\ =\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{0}{1^2+1+1}=0\)

\(1=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{2x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{x}{2x}.\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{1}{2\left(\sqrt{x+4}+2\right)}=\frac{1}{2\left(\sqrt{4}+2\right)}\)

\(2=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{x-1}{x-1}.\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{\sqrt{1+3}+2}\)

\(3=\lim\limits_{x\rightarrow3}\frac{\sqrt{2x+3}-x}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow3}\frac{2x+3-x^2}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}.\frac{1}{\sqrt{2x+3}+x}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow3}\frac{\left(x+1\right)\left(3-x\right)}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}.\frac{1}{\sqrt{2x+3}+x}=\lim\limits_{x\rightarrow3}\frac{x+1}{\left(1-x\right)\left(\sqrt{2x+3}+x\right)}=\frac{3+1}{\left(1-3\right)\left(\sqrt{9}+3\right)}\)

\(4=\lim\limits_{x\rightarrow2}\frac{\left(x-2\right)\left(2x-1\right)}{\left(x+1\right)^2\left(x-2\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow2}\frac{2x-1}{\left(x+1\right)^2}=\frac{4-1}{\left(2+1\right)^2}\)

P/s: lần sau bạn sử dụng tính năng gõ công thức ở kí hiệu \(\sum\) góc trên cùng bên trái khung soạn thảo ấy, khó nhìn đề quá chẳng muốn làm

Tham khảo:

Chúc bn học tốt