Cho M = \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)với a,b,c là các số nguyên dương bất kì.
Chứng minh rằng M không thể là số nguyên.
lời giải rõ ràng mình tick cho hai tick.
mai mình phải nộp rồi nhanh lên nhé !
Cho \(M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)với a,b,c là các số nguyên dương bất kì.Chứng minh rằng M không thể là số nguyên
Gia su : a/a+b > a/a+b+c (a,b,c THUOC Z )
b/b+c > b/b+c+a
c/c+a > c/c+a+b
=> M > 1 (1)
Mat khac , ta lai co : a/a+c < 1 => a/a+b < a+c/a+b+c
b/b+c < b+a/b+c+a
c/c+a < c+b/c+a+b
=> M < 2 (2)
Tu (1) VA (2) => 1 < M < 2 => M ko phai la so nguyen.
Dung 1000000000% luon do, bai nay thay giao mk chua rui!!!
********** K MK NHA!!!
Cho a,b,c là các số thực dương thay đổi bất kì.Chứng minh rằng:
\(\left(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\right)^2\ge4\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
Cập nhật ngày 28/9/2019 lúc 8:53: Bài này được đăng lại là do mình lướt lịch sử hỏi đáp thấy bài này hay hay mà chưa ai trả lời mà mình ko muốn nhai lại nên đào lại:D
\(\frac{\left(b+c\right)}{a}+\frac{\left(c+a\right)}{b}+\frac{\left(a+b\right)}{c}\)
\(=\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\)
\(=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)
mà \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)(dễ chứng minh)
chứng minh tương tự ta có
\(\frac{\left(b+c\right)}{a}+\frac{\left(c+a\right)}{b}+\frac{\left(a+b\right)}{c}\)\(\ge\)6
\(\left(\frac{\left(b+c\right)}{a}+\frac{\left(c+a\right)}{b}+\frac{\left(a+b\right)}{c}\right)^2\ge6^2=36\)(2) (a>0; b>0; c>0)
tiếp theo chứng minh
\(36\ge4\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
\(18\ge2\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
\(18a^2+18b^2+18c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(16\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)\ge0\)
\(16\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (bất đẳng thức luôn đúng )
suy ra bất đẳng thức
\(36\ge4\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)luôn đúng (2)
từ (1) và (2) suy ra
\(\left(\frac{\left(b+c\right)}{a}+\frac{\left(c+a\right)}{b}+\frac{\left(a+b\right)}{c}\right)^2\ge\text{}\text{36}\ge\)\(4\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
cho M=a/a+b+b/b+c+c/c+a với a, b,c là các số nguyên dương bất kì . Chứng minh rằng M không thể là số nguyên
M=a/a+b+b/b+c+c/c+a vs a,b,c lớn hơn 0
M=1+b+1+c+1+a=3+a,b,c
M là số nguyên
Ta có a/b+c+b/a+c+c/a+b > a/a+b+c+b/b+c+a+c/b+c+a=a+b+c/a+b+c=1
=>M>1
Lại có M=(1-b/a+b)+(1- c/b+c)+(1-c/a+c)<3-(b/a+b+c+c/b+c+a+a/c+a+b)=3-1=2
=>M < 2
do đo 1<M<2=>đpcm
Bn vào đây:http://olm.vn/hoi-dap/question/431454.html
Cho các số a,b,c là các số nguyên dương sao cho mỗi số đều nhỏ hơn tổng hai số còn lại.
Chứng minh rằng: S = \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\) không phải là số tự nhiên.
\(S=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
Theo đề ta được:
\(\hept{\begin{cases}a< \left(b+c\right)\\b< \left(a+c\right)\\c< \left(a+b\right)\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{b+c}< 0\\\frac{b}{a+c}< 0\\\frac{c}{a+b}< 0\end{cases}\Rightarrow}\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ne N}\)( Tổng của ba phân số không thể bằng 1 số tự nhiên với a,b,c không là số âm )
Cho a;b;c là các số nguyên dương ,chứng tỏ rằng :
M=\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)ko phải là một số nguyên dương.
Ta có:
\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M>\frac{a+b+c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M>1\) (1)
Ta có:
\(\frac{a}{a+b}< 1\Rightarrow\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{b+c}< 1\Rightarrow\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{c+a}< 1\Rightarrow\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M< 2\) (2)
Từ (1) và (2) => 1 < M < 2
=> M không phải là một số nguyên dương (đpcm)
áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau, ta có
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=\frac{a+b+c}{a+b+b+c+c+a}=\frac{a+b+c}{\left(a+b+c\right)\cdot2}=\frac{ }{ }\)\(=\frac{1}{2}\)
=>Vậy nếu a;b;c>0->\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)ko phải là 1 số nguyên dương
k cho mk
Cho a,b,c là các số nguyên dương chứng tỏ rằng :
M = \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\) ko phải là 1 số nguyên dương.
\(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c},\frac{b}{b+c}>\frac{b}{b+c+a},\frac{c}{c+a}>\frac{c}{c+a+b}\)
\(\Rightarrow A>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
\(\frac{a}{a+b}< 1\Rightarrow\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c},\frac{b}{b+c}< 1\Rightarrow\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{b+c+a},\frac{c}{a+a}< 1\Rightarrow\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{c+a+b}\)
\(\Rightarrow A< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{c+a+b}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Vậy \(1< A< 2\Rightarrow A\)không phải là một số nguyên dương
\(Cho\)\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}\)với a, b, c là các số nguyên dương.
Chứng minh:
\(M=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)không là số nguyên.
Ta có: \(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{c+a}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)(1)
Lại có: \(\frac{a}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{c+a}< \frac{b+c}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}< \frac{c+a}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M< \frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}+\frac{c+a}{a+b+c}=\frac{a+b+b+c+c+a}{a+b+c}=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)(2)
Từ (1);(2) => 1 < M < 2 => đpcm
cho M= a/a+b + b/b+c + c/c+a
với a, b,c là các số nguyên dương bất ki Chứng minh rằng M
không thể là số nguyên
Ta có : \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\\\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\end{cases}}\)=> \(M>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
=> M > 1 (1)
Lại có : \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\\\frac{c}{a+c}< \frac{b+c}{a+b+c}\end{cases}\Rightarrow M< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2}\)
=> M < 2 (2)
Từ (1) và (2) => 1 < M < 2 => M không phải là số chính phương
Xin lỗi bạn Lê Thê Hiếu nha
Kết luật phải là M không phải là số nguyên
+)Ta có:M=\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)
+)Ta thấy:\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
\(\Rightarrow M>1\left(1\right)\)
+)Ta lại có:M=\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)
+)Ta thấy :\(\frac{a}{a+b}< 1;\frac{b}{b+c}< 1;\frac{c}{c+a}< 1\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{c}{c+a}< \frac{b+c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}=\frac{a+c+a+b+b+c}{a+b+c}=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
\(\Rightarrow M< 2\left(2\right)\)
+)Từ (1)và (2)
\(\Rightarrow1< M< 2\)
=>M không là số nguyên (ĐPCM)
Chúc bn học tốt
Cho M = a\(a+b) +b\(b+c) +c\(c+a) vối a, b ,c là các số nguyên dương bất kì.
Chứng minh rằng M không thể là số nguyên.
M=a/a+b+b/b+c+c/c+a vs a,b,c lớn hơn 0
M=1+b+1+c+1+a=3+a,b,c
M là số nguyên