1 mảnh đất HCN có chu vi là 120m,có chiều rộng bằng \(\frac{3}{5}\)chiều dài.

a Tính diện tích mảnh đất đó

b Người ta chia mảnh vườn thành 2 khu.Biết\(\frac{1}{2}\)

diện tích trồng cây ăn quả bằng \(\frac{2}{5}\)diện tích khu trồng hoa.Tính diện tích mỗi khu.

ĐẶt \(A=\frac{25x}{y+z}+25+\frac{4y}{z+x}+4+\frac{9z}{x+y}+9\)

\(A=\left(x+y+z\right)\left(\frac{25}{y+z}+\frac{4}{z+x}+\frac{9}{x+y}\right)\)

Chứng minh Bất đẳng thức phụ \(\frac{m^2}{a}+\frac{n^2}{b}+\frac{p^2}{c}\ge\frac{\left(m+n+p\right)^2}{a+b+c}\forall a,,b,c>0\)rồi áp dụng, ta có 

\(A\ge\left(x+y+z\right)\frac{\left(5+2+3\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=50\)

\(\Rightarrow\frac{25x}{y+z}+\frac{4y}{z+x}+\frac{9z}{x+y}\ge12\forall x,y,z>0\)

Đặt \(a=y+z,b=z+x,c=x+y\) (với a > 0, b > 0, c> 0)

\(\Rightarrow x=\frac{b+c-a}{2},y=\frac{c+a-b}{2},z=\frac{a+b-c}{2}\). Ta có

\(VT\) \(P=\frac{25\left(b+c-a\right)}{2a}+\frac{4\left(c+a-b\right)}{2b}+\frac{9\left(a+b-c\right)}{2c}\)\(=\left(\frac{25b}{2a}+\frac{4a}{2b}\right)+\left(\frac{25c}{2a}+\frac{9a}{2c}\right)+\left(\frac{4c}{2b}+\frac{9b}{2c}\right)-19\ge10+15+6-19=12\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{{}\begin{matrix}5b=2a\\5c=3a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow5b+5c=5a\Rightarrow x=0\left(vôlis\right)\)

Vậy BĐT P đúng

Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương :

\(\frac{x^3}{y^2}+x\ge2\sqrt{\frac{x^3}{y^2}\cdot x}=2\frac{x^2}{y}\)

\(\frac{y^3}{z^2}+y\ge2\frac{y^2}{z}\)

\(\frac{z^3}{x^2}+z\ge2\frac{z^2}{x}\)

\(\Rightarrow\frac{x^3}{y^2}+\frac{y^3}{z^2}+\frac{z^3}{x^2}\ge2\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\right)-\left(x+y+z\right)\)

Mà \(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}=x+y+z\)

\(\Rightarrow\frac{x^3}{y^2}+\frac{y^3}{z^2}+\frac{z^3}{y^2}\ge\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\)

\(x^4y+x^2y-x^2y=x^2y\left(x^2+1\right)-x^2y.\)

\(\hept{\begin{cases}\frac{x^2y\left(x^2+1\right)-x^2y}{\left(x^2+1\right)}=x^2y-\frac{x^2y}{\left(x^2+1\right)}\\\frac{y^2z\left(y^2+1\right)-y^2z}{\left(y^2+1\right)}=y^2z-\frac{y^2z}{\left(y^2+1\right)}\\\frac{z^2x\left(z^2+1\right)-z^2x}{\left(z^2+1\right)}=z^2x-\frac{z^2x}{\left(z^2+1\right)}\end{cases}}Vt\ge x^2y+y^2z+z^2x-\left(\frac{x^2y}{x^2+1}+\frac{y^2z}{y^2+1}+\frac{z^2x}{z^2+1}\right)\)

\(\hept{\begin{cases}x^2+1\ge2x\\y^2+1\ge2y\\z^2+1\ge2z\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-\frac{x^2y}{x^2+1}\ge\frac{x^2y}{2x}=\frac{xy}{2}\\\frac{y^2z}{2y}=\frac{yz}{2}\\\frac{z^2x}{2z}=\frac{xz}{2}\end{cases}\Leftrightarrow}VT\ge x^2y+y^2z+z^2x-\left(\frac{xy+yz+zx}{2}\right)}\)

\(x^2y+y^2z+z^2x\ge3\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=3\)

\(VT\ge3-\frac{\left(xy+yz+zx\right)}{2}\)

t chỉ làm dc đến đây thôi :))

Từ \(VT\ge x^2y+y^2z+z^2x-\left(\frac{xy+yz+zx}{2}\right)\)ta có:

\(x^2y+x^2y+y^2z=x^2y+x^2y+\frac{y}{x}\ge3xy\)(áp dụng BĐT Cauchy)

Tương tự : \(y^2z+y^2z+z^2x\ge3yz\);   \(z^2x+z^2x+x^2y\ge3zx\)

Cộng vế theo vế suy ra : \(3\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2y+y^2z+z^2x\ge xy+yz+zx\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{xy+yz+zx}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu '=' xảy ra khi x = y = z = 1

Do xyz=1. nên bđt cần chứng minh tường đương với

\(\frac{x^4}{x^3z+xz}+\frac{y^4}{y^3x+xy}+\frac{z^4}{z^3y+zy}\ge\frac{3}{2}\)

Theo BĐT Bunhiacopsky ta có:

\(\frac{x^4}{x^3z+xz}+\frac{y^4}{y^3x+xy}+\frac{z^4}{z^3y+zy}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^3z+xz+y^3x+xy+z^3y+zy}\)

Do vậy ta cần cm

\(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^3z+xz+y^3x+xy+z^3y+zy}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^4+y^4+z^4\right)+4\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\ge3\left(x^3z+y^3x+z^3y\right)+3\left(xy+yz+xz\right)\)

BĐT trên là tổng của 3 BĐT sau:

\(1,x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xy+yz+xz\)

\(2,x^4+y^4+z^4\ge x^3z+y^3x+z^3y\)

\(3,x^4+y^4+z^4+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge2\left(x^3z+y^3x+z^3y\right)\)

ta có bđt trên tương đương với

\(x^2\left(x-z\right)^2+y^2\left(y-x\right)^2+z^2\left(z-y\right)^2\ge0\)

Nhân 3 ở bđt đầu tiên rồi cộng vế theo vế các bđt ở dưới ta có đpcm

dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

Bài 1: \(T=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)

\(=\frac{x^2}{\sqrt{x\left(x^3+8y^3\right)}}+\frac{2y^2}{\sqrt{y\left[y^3+\left(x+y\right)^3\right]}}\)

\(=\frac{x^2}{\sqrt{\left(x^2+2xy\right)\left(x^2-2xy+4y^2\right)}}+\frac{2y^2}{\sqrt{\left(xy+2y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}}\)

\(\ge\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2y^2+\left(x+y\right)^2}\ge\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2x^2+4y^2}=1\)

\(\Rightarrow T\ge1\)

Bài 2:

[Toán 10] Bất đẳng thức | Page 5 | HOCMAI Forum - Cộng đồng học sinh Việt Nam

\(\Sigma\frac{x^3}{y^2}=\Sigma\frac{x}{y^2}\left(x-y\right)^2+\frac{\Sigma z\left(x^3-yz^2\right)^2}{xyz\left(x+y+z\right)}+\Sigma\frac{x^2}{y}\ge\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\)

\(VT-VP=\Sigma\frac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2}{y^2}\ge0\)