Trên các cạnh BC và CD của hình vuông ABCD lấy các điểm E và F sao cho góc EAF 45 độ. Các đoạn thẳng AE,AF cắt BD theo thứ tự tại H và K. Chứng minh tứ giác EHKF nội tiếp
Trên các cạnh BC và CD của hình vuông ABCD lấy các điểm E và F sao cho góc EAF = 45 độ. Các đoạn thẳng AE,AF cắt BD theo thứ tự tại H và K. Chứng minh tứ giác EHKF nội tiếp
cho hình vuông ABCD trên các cạnh BC và CD lần lượt lấy các điểm E và F sao cho góc EAF=45 độ. Gọi P và Q theo thứ tự là giao điểm của các đoạn EA, AF với đường chéo BD. chứng minh rằng tam giác AQE vuông cân.
hình như lê bích ngọc chép mạng
Xem hình vuông abcd trên cạnh BC lấy điểm E bất kì e không trùng BC Trên cạnh CD lấy điểm F bất kì f không trùng CD,sao cho góc EAF+45 độ đường chéo BD của hình vuông ABCD cắt AE,AF lần lượt tại M và N
a) c/m tứ giác abfm nội tiếp
b) c/m khi e và f di động,đường thẳng EF lluôn tiếp xúc với một đường tròn cố định
a) Để chứng minh tứ giác ABFM là tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh góc AMB + góc AFB = 180 độ.
Góc AMB là góc giữa đường chéo BD và cạnh AB của hình vuông ABCD. Vì đường chéo BD cắt AE tại M, nên góc AMB chính là góc EAM.
Góc AFB là góc giữa đường thẳng EF và cạnh AB của hình vuông ABCD. Vì đường thẳng EF song song với cạnh AB, nên góc AFB bằng góc EAF.
Theo đề bài, góc EAF + 45 độ = 180 độ. Do đó, góc EAF = 180 - 45 = 135 độ.
Vậy, ta có góc AMB + góc AFB = góc EAM + góc EAF = 135 độ + 135 độ = 270 độ = 180 độ.
Vì tổng hai góc AMB và AFB bằng 180 độ, nên tứ giác ABFM là tứ giác nội tiếp.
b) Khi E và F di động trên các cạnh BC và CD của hình vuông ABCD, ta cần chứng minh rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Gọi O là giao điểm của đường chéo BD và đường thẳng EF. Ta cần chứng minh rằng O nằm trên một đường tròn cố định khi E và F di động.
Vì góc EAF + 45 độ = 180 độ, nên góc EAF = 135 độ. Điều này có nghĩa là tam giác EAF là tam giác cân tại A.
Do đó, đường trung tuyến MN của tam giác EAF là đường cao và đường trung trực của cạnh EF. Vì M và N lần lượt là giao điểm của đường trung tuyến MN với AE và AF, nên M và N là trung điểm của AE và AF.
Vì M và N là trung điểm của hai cạnh của hình vuông ABCD, nên OM và ON là đường trung trực của AB và AD. Do đó, O nằm trên đường trung trực của cạnh AB và AD.
Vì AB và AD là hai cạnh cố định của hình vuông ABCD, nên đường trung trực của AB và AD là đường thẳng cố định. Vậy, O nằm trên một đường tròn cố định.
Vì vậy, khi E và F di động trên các cạnh BC và CD của hình vuông ABCD, đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên hai cạnh
AD và CD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho góc MBN =45 độ . BM và BN cắt AC theo thứ tự ở E và F. Chứng minh các tứ giác BENC và BFMA nội tiếp
Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Trên hai cạnh $AD$ và $CD$ lần lượt lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $\widehat{MBN}={45}^\circ$. $BM$ và $BN$ cắt $AC$ theo thứ tự tại $E$ và $F$.
a) Chứng minh $BNNC$ và $BFMA$ là các tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh $MEFN$ là tứ giác nội tiếp.
c) Gọi $H$ là giao điểm của $MF$ và $NE$, $I$ là giao điểm của $BH$ và $MN$. Tính độ dài đoạn $BI$ theo a.
Vì: FBM=FAM=45 độ nên BFMA là tứ giác nội tiếp
tương tự có đpcm
b, ta có:
MFN=DAB=90
NEM=BCD=90
=> nội tiếp
c, theo câu b ta có:
MNB=BEC=BNC nên: NB là phân giác góc INC
thấy ngay H là trực tâm tam giác BMN nên: BI vuông góc MN
do đó áp dụng tính chất đường phân giác ta được BI=BC=a.
Chứng minh góc EBN = góc ECN = 450
=> Tứ giác BENC nội tiếp (đpcm)
Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm E thuộc cạnh BC, Với E ko trùng B và E ko trùng C. Vẽ EF vuông góc với AE, Với F thuộc CD. Đường thẳng AF cắt đg thẳng BC tại G. Vẽ đg thẳng a đi qua điểm A và Vuông góc với AE, đg thẳng a cắt đg thẳng DE tại điểm H.
1/ chứng minh AE/AF = CD/DE
2/ chứng minh rằng tứ giác AEGH là tứ giác nội tiếp
3/ gọi b là tiếp tuyến của đg tròn ngoại tiếp tam giác AHE tại E, biết b cắt đg trung trực của đoạn EG tại K. Chứng minh KG là tiếp tuyến của đg tròn ngoại tiếp tam giác AHE
chỉnh lại câu 1 tí:
1)
+ Xét tứ giác AEFD : ADF +AEF = 90 +90 = 180
Suy ra: Tứ giác AEFD nội tiếp được đường tròn
Suy ra: EAF = EDF hay EAF = EDC
+ Xét tgAEF và tg EDC : AEF = ECD = 90 VÀ EAF = EDC
Suy ra: tgAEF ~ tgDCE => .AE /AF = CD/DE
2.
Tứ giác AEFD nội tiếp được đường tròn
=> EAF = EDF mặt khác EAF = EDC mặt khác : EAF + HAG = 90 VÀ EDC + HEG =90
suy ra: HAG = HEG suy ra tứ giác AEGH nội tiếp được đường tròn => HGE = 90
Vì HGE = HAE = 90 ,suy ra đường tròn này có tâm O là trung điểm của AE.
3.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE chính là đường tròn (O).
+ Xét tam giác HGE : và OH = OE = 1/2. HE => OH = OE = OG.
+ Xét tg OEK và tg OGK :
OE = OG ; OK chung ;EK = GK( Vì K thuộc đường trung trực của đoạn thẳng EG)
Suy ra tgOEK =tg OGK (c – c – c) => KGO = KEO = 90 độ
Suy ra: KG vuông góc với OG, vậy KG là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác HAE.(đpcm).
Giải bài toán hình lớp 9 Cho hình thang ABCD (AB//CD) nội tiếp (O) . Các đường chéo AC,BD cắt nhau tại E , các cạnh bên AD,BC kéo dài cắt nhau tại F. a) Chứng minh tam giác OAC= tam giác OBD b) Chứng minh tứ giác ADOE và tứ giác AOFC nội tiếp c) Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của BD,AC và P là hình chiếu của B lên dường thẳng CD.Chứng minh tứ giác MNCP là hình bình hành d) Cho góc DOC=120 độ , góc AOB=90 độ , tính diện tích tứ giác ABCD theo R
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên hai cạnh AD và CD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho góc MBN = 45 độ. MB và BN cắt AC theo thứ tự tại E và F
a, C/m các tứ giác BENC và BFMA nội tiếp được trong một đường tròn
b, C/tỏ MEFN cũng là tứ giác nội tiếp
c, Gọi H là giao điểm của MF và NE, I là giao điểm BH và MN. Tính độ dài đoạn BI theo a
c) Đường thẳng qua E và song song với BD cắt AD tại I
Đường thẳng qua F và song song với BD cắt BC tại K.
Chứng minh: Các đường thẳng AC, EF và IK cũng đi qua trung điểm O của BD
d) Biết góc AOD = 60o và AD=1cm. Tính OA, OD và diện tích ABCD