Đặt \(ƯCLN\left(2n+1,3n+2\right)=d\left(d\inℕ^∗\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\3n+2⋮d\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(2n+1\right)⋮d\\2\left(3n+2\right)⋮d\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}6n+3⋮d\\6n+4⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(6n+4\right)-\left(6n+3\right)⋮d\)\(\Rightarrow1⋮d\)

Mà \(d\inℕ^∗\)\(\Rightarrow d=1\)

Từ đó \(ƯCLN\left(2n+1,3n+2\right)=1\)

Và ta kết luận với mọi \(n\inℕ\)thì \(2n+1\)và \(3n+2\)nguyên tố cùng nhau.

Ta có 2n+1 =6n+3

3n+2=6n+4

gọi d là ước của 6n+3 và 6n+4

Ta có (6n+3)-(6n+4) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d=1

vậy 2n+1 and n+2 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Giả sử: (2n+5;3n+7)=d
2n+5=3(2n+5)=6n+15 chc d
3n+7=2(3n+7)=6n+14 chc d
                      1 chia hết cho d
=> d=1 vậy 2n+5 và 3n+7 nguyên tố cùng nhau

gọi ƯCLN(2n+3;3n+4) là d 

=> 2n+3 chia hết cho d ; 3n + 4 chia hết cho d

=> 2n.3+3.3 chia hết cho d; 3n.2+4.2 chia hết cho d

=> 6n+9 chia hết cho d ; 6n+8 chia hết cho d

=> 6n+9-6n+8 chia hết cho d

=> 6n+9 - 6n - 8  chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d =1

vậy với mọi số tự nhiên n thì (2n+3) và (3n+4) là hai số nguyên tố cùng nhau

bn xét từng trường hợp

n=2k(so chan)

n=2k+1(so le )

nha mình đang bận k làm đc đâu

n=1 ban nhe ban ma nhin qua la phai bam thi minh k cho

Bài 1: Gọi hai số lẻ liên tiếp là $2k+1$ và $2k+3$ với $k$ tự nhiên.

Gọi $d=ƯCLN(2k+1, 2k+3)$

$\Rightarrow 2k+1\vdots d; 2k+3\vdots d$

$\Rightarrow (2k+3)-(2k+1)\vdots d$

$\Rightarrow 2\vdots d\Rightarrow d=1$ hoặc $d=2$

Nếu $d=2$ thì $2k+1\vdots 2$ (vô lý vì $2k+1$ là số lẻ)

$\Rightarrow d=1$

Vậy $2k+1,2k+3$ nguyên tố cùng nhau. 

Ta có đpcm.

Bài 2:

a. Gọi $d=ƯCLN(n+1, n+2)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; n+2\vdots d$

$\Rightarrow (n+2)-(n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $(n+1, n+2)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau. 

b.

Gọi $d=ƯCLN(2n+2, 2n+3)$

$\Rightarrow 2n+2\vdots d; 2n+3\vdots d$

$\Rightarrow (2n+3)-(2n+2)\vdots d$ hay $1\vdots d$
$\Rightarrow d=1$.

Vậy $(2n+2, 2n+3)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.

Bài 2:

c.

Gọi $d=ƯCLN(2n+1, n+1)$

$\Rightarrow 2n+1\vdots d; n+1\vdots d$
$\Rightarrow 2(n+1)-(2n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$

Vậy $ƯCLN(2n+1, n+1)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.

d.

Gọi $d=ƯCLN(n+1, 3n+4)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; 3n+4\vdots d$

$\Rightarrow 3n+4-3(n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $ƯCLN(n+1, 3n+4)=1$

$\Rightarrow$ 2 số này nguyên tố cùng nhau.

Đề sai nha e

VD: n=1

=> 2n+5=7; 2n+12=14

Đề sai rồi bạn

gọi d là UCLN ( 3n+5, 2n+3 )

=>3n+5 chia hết cho d

=>2n+3 chia hết cho d

=>2.(3n+5) chia hết cho d

=>3.(2n+3) chia hết cho d

=>6n+10 chia hết cho d

=>6n+9 chia hết cho d

=>6n+10-(6n+9) = d

=>6n+10-6n-9 =d

=>      1         = d

=> 3n+5 và 2n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau