a)cm bất đẳng thức:\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)(x;y cùng dấu)
b)tìm GTNN của biểu thức sau.P=\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+5\)(với x\(\ne\)0;y\(\ne\)0)
Những câu hỏi liên quan
bất đẳng thức cosy 2 số không âm
áp dụng bất đẳng thức: \(x^2+y^2\ge2\cdot\sqrt{x\cdot y}\)
1) \(\frac{\sqrt{5}}{x+\frac{5}{x}}\le\frac{1}{2}\)
CM bất đẳng thức :
\(\frac{1}{4}\left(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}\right)\ge\frac{x}{y+z}\)
Ta có:
\(\frac{1}{4}\left(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}\right)=\frac{x}{4}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) (*)
Theo bất đẳng thức Cauchy, có: \(y+z\ge2\sqrt[]{yz}\)(1)
Và \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge2.\frac{1}{\sqrt{yz}}=\frac{2}{\sqrt{yz}}\) (2)
Nhân (1) với (2) ta được: \(\left(y+z\right)\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge2\sqrt{yz}.\frac{2}{\sqrt{yz}}=4\)
=> \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{4}{y+z}\) Thay vào (*) ta được:
\(\frac{1}{4}\left(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}\right)=\frac{x}{4}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{x}{4}.\frac{4}{y+z}=\frac{x}{y+z}\)
=> \(\frac{1}{4}\left(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}\right)\ge\frac{x}{y+z}\left(đpcm\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
a.Chứng Minh bất đẳng thức: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)\(\left(x,y>0\right)\)
b.Cho 3 số a,b,c dương
chứng minh:\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
CM bất đẳng thức :
\(x^2+y^2\ge2\) với \(x+y=2\)
Có : \(\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge x^2+2xy+y^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=4\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2\)
Dấu " = " tại \(x=y=1\)
Đúng 0
Bình luận (0)
a) Chứng minh bất đẳng thức sau: frac{x}{y}+frac{y}{x}ge2(với x và y cùng dấu) b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P frac{x^2}{y^2}+frac{y^2}{x^2}-3left(frac{x}{y}+frac{y}{x}right)+5 (vớixne0,yne0 )HELP...... MAI MÌNH PHẢI NỘP RỒI MÌNH CẢM ƠN
Đọc tiếp
a) Chứng minh bất đẳng thức sau: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)(với x và y cùng dấu)
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+5\) (với\(x\ne0,y\ne0\) )
HELP...... MAI MÌNH PHẢI NỘP RỒI
MÌNH CẢM ƠN
b)áp dụng Bđt cô si
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}\cdot\frac{y^2}{x^2}}=2\)
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}}=2\)\(\Rightarrow-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge-6\)
\(\Rightarrow P\ge2+\left(-5\right)+5=1\)
Dấu = khi x=y
Đúng 0
Bình luận (4)
a)Áp dụng Bđt Cô si ta có:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}}=2\)
Dấu = khi \(x=y\)
Đúng 0
Bình luận (1)
a) Ta có:
\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\)
\(\dfrac{x^2+y^2}{xy}\ge2\)
\(x^2+y^2\ge2xy\)
\(x^2+y^2-2xy\ge0\)
\(\left(x-y\right)^2\ge0\left(lđ\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh các bất đẳng thức sau: \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\left(\forall x,y>0\right)\)
Biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+y^2}{xy}\ge2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã được chứng minh
Đúng 5
Bình luận (0)
Cách khác so với anh Nguyễn Việt Lâm
Ta có: \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}\cdot\dfrac{y}{x}}=2\) (đpcm)
Đúng 1
Bình luận (0)
cho bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Áp dụng bất đẳng thức trên tìn giá trị nhỏ nhất của\(M=\frac{2}{xy}+\frac{3}{x^2+y^2}\)
với x,y dương và x+y=1
x,y,z>0. CMR \(x^2+y^2+z^2+\frac{9xyz}{x+y+z}\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
Từ bất đẳng thức trên + x+y+z=1 làm sao để suy ra \(9xyz\ge4\left(xy+yz+zx\right)-1\)
Chứng mình bất đẳng thức
1/\(\frac{1}{4}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)\ge\frac{x}{y+z}\)
2/\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
Mình mới làm quen với bất đẳng thức, các bạn giải chi tiết hộ mình nha. À mà giải theo Cauchy ý nha !
2)\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
theo yêu cầu của bạn thì đến đâ mk làm theo cách này
ÁP Dụng cô si ta có:\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)(luôn đúng)\(\Rightarrowđpcm\)
cách 2
\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
\(\Rightarrowđpcm\)
Đúng 0
Bình luận (0)