Cho: a=1+2+3+4+...+n và b=2n +1 ( Với n là số tự nhiên và n lớn hơn hoặc bằng 2). Chứng minh: a và b là hai số nguyên tố cùng nhau
Cho a = 1+2+3+....+n và b = 2n+1 (Với n thuộc N, n lớn hơn hoặc bằng 2). Chứng minh: a và b là hai số nguyên tố cùng nhau.
Ta có : \(a=1+2+3+...+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\) , b = 2n+1
Gọi ƯCLN(a,b)=d (\(d\ge1\))
Ta có : \(\begin{cases}\frac{n\left(n+1\right)}{2}⋮d\\2n+1⋮d\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}n\left(n+1\right)⋮d\\2n+1⋮d\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}4n^2+4n⋮d\\4n^2+4n+1⋮d\end{cases}\)
=> \(\left(4n^2+4n+1\right)-\left(4n^2+4n\right)⋮d\) hay \(1⋮d\)
=> \(d\le1\) mà \(d\ge1\Rightarrow d=1\)
=> đpcm
Xét n = 2k
- a = lẻ => b = chẵn
Mà chẵn lẻ tương phản, vậy suy ra được đpcm
Xét n = 2k + 1
- a = chẵn <=> b lẻ
Mà chẵn lẻ tương phản, vậy suy ra được đpcm
Vậy a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. (với n thuộc N, n >=2)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau (2 số tự nhiên bằng nhau là 2 số có ước chung lớn nhất là 1)
a, n+3 và n+4
b, 2n + 5 và n + 2
c, 2n + 1 và 3n +1
1.Chứng tỏ rằng hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau
2.Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên , các số sau là các số nguyên tố cùng nhau.
a) n+1 và n+2 b)2n+2 và 2n+3
c)2n+1 và n+1 d)n+1 và 3n+4
Bài 1: Gọi hai số lẻ liên tiếp là $2k+1$ và $2k+3$ với $k$ tự nhiên.
Gọi $d=ƯCLN(2k+1, 2k+3)$
$\Rightarrow 2k+1\vdots d; 2k+3\vdots d$
$\Rightarrow (2k+3)-(2k+1)\vdots d$
$\Rightarrow 2\vdots d\Rightarrow d=1$ hoặc $d=2$
Nếu $d=2$ thì $2k+1\vdots 2$ (vô lý vì $2k+1$ là số lẻ)
$\Rightarrow d=1$
Vậy $2k+1,2k+3$ nguyên tố cùng nhau.
Ta có đpcm.
Bài 2:
a. Gọi $d=ƯCLN(n+1, n+2)$
$\Rightarrow n+1\vdots d; n+2\vdots d$
$\Rightarrow (n+2)-(n+1)\vdots d$
$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $(n+1, n+2)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.
b.
Gọi $d=ƯCLN(2n+2, 2n+3)$
$\Rightarrow 2n+2\vdots d; 2n+3\vdots d$
$\Rightarrow (2n+3)-(2n+2)\vdots d$ hay $1\vdots d$
$\Rightarrow d=1$.
Vậy $(2n+2, 2n+3)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.
Bài 2:
c.
Gọi $d=ƯCLN(2n+1, n+1)$
$\Rightarrow 2n+1\vdots d; n+1\vdots d$
$\Rightarrow 2(n+1)-(2n+1)\vdots d$
$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $ƯCLN(2n+1, n+1)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.
d.
Gọi $d=ƯCLN(n+1, 3n+4)$
$\Rightarrow n+1\vdots d; 3n+4\vdots d$
$\Rightarrow 3n+4-3(n+1)\vdots d$
$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $ƯCLN(n+1, 3n+4)=1$
$\Rightarrow$ 2 số này nguyên tố cùng nhau.
1 Cho số tự nhiên n với n > 2. Biết 2n - 1 là 1 số nguyên tố. Chứng tỏ rằng số 2n + 1 là hợp số
2 Cho 3 số: p, p+2014.k, p+2014.k là các số nguyên tố lớn hơn 3 vá p chia cho 3 dư 1. Chứng minh rằng k chia hết cho 6
3 Cho 2 số tự nhiên a và b, trong đó a là số lẻ. Chứng minh rằng 2 số a và a.b+22013là 2 số nguyên tố cùng nhau
4 Cho m và n là các số tự nhiên, m là số lẻ. Chứng tỏ rằng m và mn+8 là 2 số nguyên tố cùng nhau
5 Cho A=32011-32010+...+33-32+3-1. Chứng minh rằng a=(32012-1) : 4
6 Cho số abc chia hết cho 37. Chứng minh rằng số bca chia hết cho 37
Câu 5:Cho a= 1+2+3+...+n và b= 2n+1 (Với n thuộc N, n lớn hơn hoặc bằng 2)
Chứng minh : a và b là 2 số nguyên tố cùng nhau.
Gọi d là ước chung nếu có của cả a và b
=> a chia hết cho d nên 8a cũng chia hết cho d
đồng thời : b chia hết cho d nên b2 cũng chia hết cho d ( b2 )
=> ( b2 - 8.a ) chia hết cho d
mà : a = 1 + 2 + 3 + ... + n = n ( n + 1 ) / 2 = ( n2 + n ) /2
và b2 = ( 2n + 1 )2 = 4n2 + 4n + 1
=> : (b2 - 8a ) = ( 4n2 + 4n +1 ) - ( 4n2 + 4n ) = 1
Vậy : ( 8a - b2 ) chia hết cho d <=> 1 chia hết cho d => d = 1
NÊN ước chung của a và b là 1 nên a và b nguyên tố cùng nhau ( đpcm )
Cho A= 1+2+3+..+n và B =2n+1 (Với n thuộc N , n > hoặc bằng 2)
Chứng minh :a và b là hai số nguyên tố cùng nhau
Cho A= 1+2+3+..+n và B =2n+1 (Với n thuộc N , n > hoặc bằng 2)
Chứng minh :a và b là hai số nguyên tố cùng nhau
1. Cho a =5n +3 và 6n+ 1 là hai số tự nhiên không nguyên tố cùng nhau. Tìm ước chung lớn nhất của 2 số này. 2. (Ams 2015) Chứng minh với mọi số tự nhiên n ta luôn có hai số A = 4n + 3 và B = 5n+ 4 là hai số nguyên tố cùng nhau. 3.Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có hai số 2n + 1 và 6n + 5 là nguyên tố cùng nhau. 4. Chứng minh rằng 2n + 5 và 4n + 12 là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n 5. Chứng minh nếu (a; b) = 1 thì (5a + 3b; 13a+8b) = 1.
1. Đặt \(ƯCLN\left(5n+3,6n+1\right)=d\) với \(d\ne1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5n+3⋮d\\6n+1⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}30n+18⋮d\\30n+5⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow13⋮d\)
\(\Rightarrow d\in\left\{1,13\right\}\)
Nhưng vì \(d\ne1\) nên \(d=13\). Vậy \(ƯCLN\left(5n+3,6n+1\right)=13\)
2. Gọi \(ƯCLN\left(4n+3,5n+4\right)=d\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4n+3⋮d\\5n+4⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}20n+15⋮d\\20n+16⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
\(\Rightarrow d=1\)
Vậy \(ƯCLN\left(4n+3,5n+4\right)=1\) nên 2 số này nguyên tố cùng nhau. (đpcm)
3: Tương tự 2 nhưng khi đó \(d\in\left\{1,2\right\}\). Nhưng vì cả 2 số \(2n+1,6n+5\) đều là số lẻ nên chúng không thể có ƯC là 2. Vậy \(d=1\)
4. Tương tự 3.
1. Cho a =5n +3 và 6n+ 1 là hai số tự nhiên không nguyên tố cùng nhau. Tìm ước chung lớn nhất của 2 số này. 2. (Ams 2015) Chứng minh với mọi số tự nhiên n ta luôn có hai số A = 4n + 3 và B = 5n+ 4 là hai số nguyên tố cùng nhau. 3.Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có hai số 2n + 1 và 6n + 5 là nguyên tố cùng nhau. 4. Chứng minh rằng 2n + 5 và 4n + 12 là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n 5. Chứng minh nếu (a; b) = 1 thì (5a + 3b; 13a+8b) = 1.
Bạn nên tách riêng rẽ từng bài ra để đăng cho mọi người quan sát dễ hơn nhé.