\(A=1+2015+2015^2+....+2015^9\)

\(2015A=2015+2015^2+2015^3+....+2015^{10}\)

\(2015A-A=\left(2015+2015^2+2015^3+...+2015^{10}\right)-\left(1+2015+2015^2+....+2015^9\right)\)

\(2014A=2015^{10}-1\)

=>\(2014A+1=2015^{10}-1+1=2015^{10}=...5\) (vì những số tự nhiên có chữ số tận cùng=5 khi nâng lên lũy thừa bất kì (khác 0) vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng của nó)

Mà chữ số tận cùng của 1 SCP chỉ có thể E {0;1;4;5;6;9}

=>2014A+1 là 1 SCP (đpcm)

Ta có:\(B=1+2015+2015^2+...+2015^{99}\)

=>\(2015B=2015+2015^2+2015^3+...+2015^{100}\)

=>\(2015B-B=2014B=2015^{100}-1\)

=>\(2014B+1=2015^{100}=\left(2015^{50}\right)^2\)

Vì 2014B + 1 là bình phương của một số tự nhiên

Vậy 2014B + 1 là số chính phương

Ta có : \(B=1+2015+2015^2+...+2015^{99}\)

\(\Rightarrow2015B=2015+2015^2+2015^3+...+2015^{100}\)

\(\Rightarrow2015B-B=2014B=2015^{100}-1\)

\(\Rightarrow2014B+1=2015^{100}=\left(2015^{50}\right)^2\)

Vì : \(2014B+1\) là bình phương của một số tự nhiên

Vậy \(2014B+1\) là số chính phương

khó wá

2014B+1= (2015-1)B+1 =2015B-B +1 = 2015^100=(2015^50)^2

VẬY 2014B+1 LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

A=1+2015+2015²+2015³+......+2015⁹⁹

=>2015A=2015+2015²+2015³+2015⁴+......+2015¹⁰⁰

=>2015A-A=(2015+2015²+2015³+2015⁴+.....+2015¹⁰⁰)-(1+2015+2015²+2015³+....+2015⁹⁹)

=>2014A=2015¹⁰⁰-1

=>2014A+1=2015¹⁰⁰-1+1=2015¹⁰⁰

Công thức: các số tự nhiên tận cùng=0;1;5;6 khi nâng lên lũy thừa bất kì (khác 0) vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng của nó

Ta có:2015 tận cùng là 5

=>2015¹⁰⁰ có chữ số tận cùng là 5

Vì chữ số tận cùng của 1 số chính phương chỉ có thể \(\in\left\{1;4;5;6;9\right\}\)

=>2015¹⁰⁰ là số chính phương

=>2014A+1 là số chính phương (đpcm)

2015A=2015+2015^2+2015^3+...+2015^100

     - A=1+2015+2015^2+...+2015^99

2014A=2015^100-1=>2014A+1=2015^100=2015^(50.2)=(2015^50)^2 là một số chính phương(ĐPCM)

phuc sai roi 

A=1+2015+2015²+...+2015⁹⁹

=> 2015A=2015+2015²+2015³+...+2015¹⁰⁰

=> 2015A-A=(2015+2015²+2015³+...+2015¹⁰⁰)-(1+2015+2015²+...+2015⁹⁹)

2014A=2015¹⁰⁰-1

=> 2014A+1=2015¹⁰⁰-1+1=2015¹⁰⁰=(2015²)⁵⁰

Vì 2015¹⁰⁰ bằng bình phương của 1 số tự nhiên 

=> 2014A+1 là số chính phương

\(A=1+2015+2015^2+...+2015^{99}\)

\(\Leftrightarrow2015A=2015+2015^2+2015^3+....+2015^{100}\)

\(\Leftrightarrow2015A-A=\left(2015+2015^2+....+2015^{100}\right)-\left(1+2015+2015^2+....+2015^{99}\right)\)

\(\Leftrightarrow2014A=2015^{100}-1\)

=> 2014A+1=\(2015^{100}=\left(2015^{50}\right)^2\)

=> 2014A+1 là số chính phương (đpcm)

Ta có\(x\sqrt{\frac{\left(2015+y^2\right)\left(2015+z^2\right)}{2015+x^2}}=x\sqrt{\frac{\left(xy+yz+zx+y^2\right)\left(xy+yz+zx+z^2\right)}{xy+yz+zx+x^2}}\)

\(=x\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}=xy+xz\)

Tương tự:\(y\sqrt{\frac{\left(2015+x^2\right)\left(2015+z^2\right)}{2015+y^2}}=yx+yz\)

               \(z\sqrt{\frac{\left(2015+x^2\right)\left(2015+y^2\right)}{2015+z^2}}=zx+zy\)

Ta có :\(P=xy+xz+yx+yz+zx+zy=2\left(xy+yz+zx\right)=4030\)

=>P không phải là số chính phương

Ta thấy S có các số hạng cách đều 2 đơn vị
=> S có: (2017 - 1) : 2 +1 = 1009 ( số hạng)
=> S = (2017 + 1) x 1009 : 2 = (2018 : 2) x 1009= 1009 x 1009 = 1009² 
Vì  1009 là số nguyên => 1009² là số chính phương => S là số chính phương(điều phải chứng minh)