Vì ABCD là hình bình hành nên ∠ ABC =  ∠ ADC.

Mặt khác, BE và DF lần lượt là phân giác của các góc B và D, do đó suy ra  ∠ ADF =  ∠ CBE

Mặt khác, ta có: AD = CB = b;

∠ DAF =  ∠ BCE (so le trong)

Suy ra: △ ADF =  △ CBE (g.c.g)

⇒ AF = CE

Đặt AF = CE = x

Theo tính chất của đường phân giác BE trong tam giác ABC, ta có:

Thay số, tính trên máy tính điện tử cầm tay ta được:

hướng dẫn  thui:

theo tính c hất đường phân giác \(\frac{CN}{AN}=\frac{DC}{AD}=\frac{40.8}{17}\)

\(\frac{AM}{MC}=\frac{AB}{AC}=\frac{40.8}{17}\)\(\Rightarrow\frac{AM}{MC}=\frac{CN}{AN}=\frac{40.8}{17}\)

\(\Rightarrow\frac{AM+MC}{AN+MC}=\frac{40.8}{17}\)\(\Leftrightarrow\frac{2MN+AN+MC}{AN+MC}=\frac{40.8}{17}=\frac{12}{5}\)

\(\frac{2MN}{AC-MN}=\frac{12}{5}-1=\frac{7}{5}\Leftrightarrow\frac{2MN}{\frac{221}{5}-MN}=\frac{7}{5}\)(TÍNH AC DỰA THEO ĐỊNH LÝ PYTAGO)

\(\frac{10}{MN}=839.8-\frac{19}{5}MN\)\(\Rightarrow MN=12.8\left(cm\right)\)

mình cũng gặp bài này

a)  Gọi M và N lần lượt là giao điểm của AE, BF với CD.

Ta có: A D E ^ = 1 2 D ^  ngoài, D A E ^ = 1 2 A ^  ngoài.

Mà A ^  ngoài + D ^  ngoài = 1800 (do AB//CD)

⇒   A D E ^ + D A E ^ = 90 0 , tức là tam giác ADE vuông tại E.

Khi đó, tam giác ADM cân tại D (do có DE vừa là đường phân giác, vừa là đường cao) và E là trung điểm của AM.

Chứng minh tương tự, ta được F olaf trung điểm của BN.

Từ khó, suy ra EF là đường trung bình của hình thang ABNM và ta được ĐPCM

b) Từ ý a),  EF = 1 2 ( A B + B C + C D + D A )

a: 

góc AMD=180 độ-góc MAD-góc MDA

\(=180^0-\dfrac{180^0-\widehat{BAD}}{2}-\dfrac{180^0-\widehat{ADC}}{2}\)

\(=180^0-\dfrac{1}{2}\widehat{ADC}-90^0+\dfrac{1}{2}\widehat{ADC}=90^0\)

Gọi giao của AM với DC là M'

Xét ΔDM'A có

DM là đường cao, là đường phân giác

nên ΔDM'A cân tại D

=>M là trung điểm của AM'

Gọi giao của BN với DC là N'

Ta có: \(\widehat{BNC}=180^0-\widehat{NBC}-\widehat{NCB}\)

\(=180^0-\dfrac{180^0-\widehat{ABC}}{2}-\dfrac{180^0-\widehat{BCD}}{2}\)

\(=180^0-90^0+\dfrac{1}{2}\widehat{ABC}-90^0+\dfrac{1}{2}\widehat{BCD}\)

=90 độ

Xét ΔCN'B có

CN vừa là đường cao, vừa là phân giác

nên ΔCN'B cân tại C

=>N là trug điểm của BN'

Xét hình thang ABN'M' có

M,N lần lượt là trung điểm của AM' và BN'

nen MN là đường trung bình

=>MN//CD//AB

b: MN=(AB+M'N')/2

=(AB+M'D+CD+CN')/2

mà M'D=AD và CN'=CB

nên MN=(AB+CD+AD+CB)/2

Xét ΔADC vuông tại D có DE là đường cao ứng với cạnh huyền AC nên ta có:

\(\dfrac{1}{DE^2}=\dfrac{1}{AD^2}+\dfrac{1}{DC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{DE^2}=\dfrac{1}{6^2}+\dfrac{1}{8^2}=\dfrac{25}{576}\)

\(\Leftrightarrow DE^2=23.04\)

hay DE=4,8(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAFD vuông tại A có AE là đường cao ứng với cạnh huyền DF, ta được:

\(DA^2=DE\cdot DF\)

\(\Leftrightarrow DF=\dfrac{6^2}{4.8}=7,5\left(cm\right)\)

Ta có: DE+EF=DF(E nằm giữa D và F)

nên EF=DF-DE=7,5-4,8=2,7(cm)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔADE vuông tại E, ta được:

\(AD^2=AE^2+DE^2\)

\(\Leftrightarrow AE^2=6^2-4.8^2=12.96\)

hay AE=3,6(cm)

Xét ΔAEF vuông tại E và ΔABC vuông tại B có 

\(\widehat{BAC}\) chung

Do đó: ΔAEF\(\sim\)ΔABC(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AF=\dfrac{AE\cdot AC}{AB}=\dfrac{3.6\cdot8}{6}=4.8\left(cm\right)\)

Ta có: AF+FB=AB(F nằm giữa A và B)

nên BF=AB-AF=8-4,8=3,2(cm)