a, \(BH\perp AD\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{BHA}=\widehat{BHD}=90^0\)

\(CK\perp AD\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{AKC}=90^0\)

Xét \(\Delta BHD\)và \(\Delta CKD\) có: 

                         \(\widehat{BHD}=\widehat{CKD}=90^0\)

                          \(\widehat{BDH}=\widehat{CDK}\) (đối đỉnh)

Do đó: \(\Delta BHD\infty\Delta CKD\left(g.g\right)\)

b, Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACK\) có:

                     \(\widehat{BAH}=\widehat{CAK}\) (vì AD là tia p/g của góc BAC)

                       \(\widehat{AHB}=\widehat{AKC}=90^0\)

Do đó: \(\Delta ABH\infty\Delta ACK\left(g.g\right)\)

Suy ra: \(\frac{AB}{AH}=\frac{AC}{AK}\) hay  \(AB.AK=AC.AH\)

C, \(\Delta ABH\infty\Delta ACK\left(cmt\right)\Rightarrow\frac{BH}{CK}=\frac{AB}{AC}\left(1\right)\) 

\(\Delta BHD=\Delta CKD\left(cmt\right)\Rightarrow\frac{DH}{DK}=\frac{BH}{CK}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2), ta được: \(\frac{DH}{DK}=\frac{BH}{CK}=\frac{AB}{AC}\)

d, Gọi giao điểm giữa FM và BH là O và giao điểm giữa FM và CK là I.

Bạn chứng minh được tam giác BOF tại O và tam giác CIE vuông tại I

\(\Delta BOM=\Delta CIM\left(ch.gn\right)\Rightarrow BO=CI\)(2 cạnh tương ứng)

\(AD//FM\left(gt\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{BAD}=\widehat{F}\\\widehat{DAC}=\widehat{IEC}\end{cases}}\)(đồng vị)

Suy ra: \(\widehat{F}=\widehat{IEC}\)

Mà \(\hept{\begin{cases}\widehat{F}+\widehat{FBO}=90^0\\\widehat{IEC}+\widehat{ICE}=90^0\end{cases}}\)

Nên \(\widehat{FBO}=\widehat{ICE}\)

Chứng minh được \(\Delta FBO=\Delta ECI\left(g.c.g\right)\Rightarrow BF=CE\)(2 cạnh tương ứng)

Chúc bạn học tốt.

Gọi Bx là tia đối của tia BA. Lấy E trên AC sao cho AB = AE

Xét tam giác BAD=EAD c-g-c => BD = DE và DEC = CBx 

Trong tam giác ABC, BAC + ABC + ACB = 180 => ACB = 180 - BAC - ABC => ACB < 180 - ABC

Ta có DBx + ABC = 180 (hai góc kề bù) => DBx = 180 - ABC

=>ACB < DBx => ACB < DEC => Trong tam giác DEC, DC > DE (Quan hệ giữa góc và cạnh)

Vậy BD < DC

a/ Xét tg vuông ABH và tg vuông ADH có

AH chung

BH=HD (gt)

=> tg ABH = tg ADH (Hai tg vuông có 2 cạnh góc vuông = nhau)

=> AB = AD

b/

Ta có tg ABH = tg ADH \(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{DAH}\)

IE//AB \(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{DEH}\)

\(\Rightarrow\widehat{DAH}=\widehat{DEH}\) => tg DAE cân tại D => AD = DE

Mà AB = AD (cmt)

=> AB = DE

IE//AB => DE//AB

=> ABED là hình bình hành (Tứ giác có cặp cạnh đối // và bằng nhau là hình bình hành)

=> HA = HE (trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

c/

Xét tg vuông ACH và tg vuông ECH có

CH chung

HA=HE (cmt)

=> tg ACH = tg ECH (Hai tg vuông có 2 cạnh góc vuông = nhau)

\(\Rightarrow\widehat{ACH}=\widehat{ECH}\) (1)

IE//AB \(\Rightarrow\widehat{IDC}=\widehat{ABH}\) (góc đồng vị)

\(\widehat{KDC}=\widehat{ADH}\) (góc đối đỉnh)

tg ABH = tg ADH \(\Rightarrow\widehat{ABH}=\widehat{ADH}\)

\(\Rightarrow\widehat{IDC}=\widehat{KDC}\) (2)

Xét tg IDC và tg KDC có DC chung (3)

Từ (1) (2) (3) => tg IDC = tg KDC => DI = DK

d/

Ta có

 tg IDC = tg KDC (cmt) \(\Rightarrow CI=CK\) => tg CIK cân tại C

 tg IDC = tg KDC (cmt) \(\Rightarrow\widehat{ICD}=\widehat{KDC}\) => CD là phân giác \(\widehat{ICK}\)

\(\Rightarrow CD\perp IK\) (Trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)

\(\Rightarrow IK\perp BC\)

Tham Khảo :

Để chứng minh các điều kiện trên, ta sẽ sử dụng các định lí và quy tắc trong hình học Euclid.

Chứng minh AB = AD:
Ta có AH vuông góc với BC, nên tam giác ABC và tam giác AHD là hai tam giác vuông cân.
Vì BH = HD (theo đề bài), nên ta có AB = AD (vì hai tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng nhau).
Chứng minh H là trung điểm AE:
Vì BH = HD (theo đề bài), nên ta có AH là đường cao của tam giác ABC.
Do đó, H là trung điểm của cạnh BC (do đường cao chia đôi cạnh đáy).
Chứng minh DI = DK:
Ta có DE || AB (do DE và AB đều song song với BC).
Vì DE || AB và AH là đường cao của tam giác ABC, nên ta có DI/DK = AE/EB (theo định lí đường cao).
Vì H là trung điểm của AE (theo bước 2), nên ta có AE = 2AH.
Từ đó, ta có DI/DK = 2AH/EB.
Vì BH = HD (theo đề bài), nên ta có EB = 2BH.
Từ đó, ta có DI/DK = 2AH/(2BH) = AH/BH = 1.
Vậy, ta có DI = DK.
Chứng minh IK vuông góc với BC:
Ta có DE || AB (do DE và AB đều song song với BC).
Vì IK là đường chéo của tứ giác AIDE, nên ta cần chứng minh tứ giác AIDE là hình bình hành.
Ta đã chứng minh DI = DK (theo bước 3), nên tứ giác AIDE là hình bình hành.
Do đó, ta có IK vuông góc với BC (vì đường chéo của hình bình hành vuông góc với cạnh đáy).
Vậy, các điều kiện đã được chứng minh.

a) Vì: DE//AB(gt)

=> ^BAD=^ADE (sole trong)

Mà ^BAD=^EAD(gt)

=>^EAD=^ADE

b)Vì: DE\\AB(gt)

=>^AFE=^DEF (sole trong)

Mà: EF//BC

=>^AFE=^ABC

Nên ^ABC=^DEF

Bạn chứng minh dựa vào 2 đường thẳng song song vs nhau rồi suy ra góc đồng vị và so le trong nhé.

a: \(\widehat{EAD}=\widehat{BAD}\)

mà \(\widehat{ADE}=\widehat{BAD}\)

nên \(\widehat{EAD}=\widehat{ADE}\)

b: Xét tứ giác BFED có 

FE//BD

BF//ED

Do đó: BFED là hình bình hành

Suy ra: \(\widehat{ABC}=\widehat{DEF}\)