`A = n^2(n^4 - 2n^3 + 2n^2 - 2n + 1)` 

Để `A` chính phương thì `n^4 - 2n^3 + 2n^2 - 2n + 1 = a^2 (a in NN)`.

`<=> n^4 -2n^3 + n^2 + n^2- 2n +1 = a^2`

`<=> (n^2+1)(n-1)^2 = a^2`.

Vì `(n-1)^2` chính phương, `a^2` chính phương.

`=> n^2+1` chính phương.

Đặt `n^2+1 = b^2(b in NN)`.

`=> (b-n)(b+n) =1`

Mà `b, n in NN`.

`=> {(b-n=1), (b+n=1):}`

`<=> {(b=1), (n=0):}`

Vậy `n = 0`.

Vì n²+2n+12 là SC nên ta có \(n^2+2n+12=m^2\) (m là số tự nhiên)

\(=>\left(n^2+2n+1\right)+11=m^2=>\left(n+1\right)^2+11=m^2\)

\(=>m^2-\left(n+1\right)^2=11=>\left[m-\left(n+1\right)\right].\left[m+\left(n+1\right)\right]=11\)

\(=>\left(m-n-1\right).\left(m+n+1\right)=11=1.11=11.1\)

vì m,n là các số tự nhiên nên \(m-n-1< m+n+1\)

=>\(\left(m-n-1\right).\left(m+n+1\right)=1.11\)

=> \(\hept{\begin{cases}m-n-1=1\\m+n+1=11\end{cases}=>\hept{\begin{cases}m-n=2\\m+n=10\end{cases}}}\)

Cộng vế với vế:

\(\left(m-n\right)+\left(m+n\right)=2+10=12=>2m=12=>m=6\)

Từ đó suy ra n=4

Vậy n=4 thì n²+2n+12 là SCP

Đặt \(n^2+2n+12=a^2\Leftrightarrow\left(n+1\right)^{^2}+11=a^2\Leftrightarrow\left(n-a+1\right)\left(n+a+1\right)=-11\)

Do n và s là số tự nhien nên xét ước 11 rồi tìm n và a sau , sau đó kết luan n = 4

Tổng của chúng là:n/2 x (2n-1)+1=n/2 x 2n=n.n=n²

Vậy tổng của chúng là số chính phương.

Vì n là số có 2 chữ số

→10≤n≤99→21≤2n+1≤199

Vì 2n+1 là số chính phương→2n+1∈{25;36;49,64;81;100;121;144;169;196}

Vì 2n+1 là số lẻ→2n+1∈{25;49;81;121;169}

Ta có bảng sau:

Với n=40 thì 2n+1=81 là số chính phương và 3n+1=121 là số chính phương

Vậy n=40

Vì n là số có 2 chữ số

\(\rightarrow10\le n\le99\)\(\rightarrow21\le2n+1\le199\)

Vì 2n+1 là số chính phương\(\rightarrow2n+1\in\left\{25;36;49,64;81;100;121;144;169;196\right\}\)

Vì 2n+1 là số lẻ\(\rightarrow2n+1\in\left\{25;49;81;121;169\right\}\)

Ta có bảng sau:

Với n=40 thì 2n+1=81 là số chính phương và 3n+1=121 là số chính phương

Vậy n=40

+ Nếu n chia hết cho 3 thì tích chia hết cho 3

+ Nếu n chia 3 dư 1 thì 2n chia 3 dư 2 => 2n+1 chia hết cho 3 => tích chia hết cho 3

+ nếu n chia 3 dư 2 => n+1 chia hết cho 3 => tích chia hết cho 3

=> tích chia hết cho 3 với mọi n

Vì n là số tự nhiên => n = 0 hoặc n thuộc N*

Nếu n = 0

5⁰+30=1+30 = 31

Mà 31 là số nguyên tố ( thỏa mãn )

+ Nếu n thuộc N* => 5ⁿ chia hết cho 5 mà 30 chia hết cho 5

=> 5ⁿ + 30 chia hết cho 5

MÀ 5ⁿ + 30 > 55

=> 5ⁿ+30 là hợp số ( mâu thuẫn với đề bài )

Vậy n = 0 thì 5ⁿ + 30 là số nguyên tố

Ta thấy 3^n chia hết cho 3

18 cx chia hết cho 3 

vì vậy với mọi giá trị nguyên của 3^n + 18 không thể là số nguyên tố

Vậy không có giá trị của n

Xét n=0 =>\(3^n+18=3^0+18=19\)là số nguyên tố 

\(n>0\)=> \(3^n+18⋮3\)(loại )

Vậy n=0

+)n=0 =>3n+18=30+18=1+18=19 là số nguyên tố( thỏa mãn)

+)n khác 0 =>3n​ chia hết cho 3,18 chia hết cho 3=>3n+18 chia hết cho 3

Ta có 3n+18>3

 Số 3n+18 là hợp số vì có 3 ước là 1,3 và chính nó ( loại)

 Vậy n=0 thì 3n+18 là số nguyên tố