Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn a + b +c = 2013 và 1/a + 1/b + 1/c = 1/2013 thì phải có một trong ba số bằng 2013
CMR: Nếu a, b,c là 3 số thỏa mãn: \(a+b+c=2013\) và \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2013}\) thì 1 trong 3 số phải có 1 số bằng 2013
ĐKXĐ: \(a,b,c\ne0\)
\(\left(a+b+c\right).\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=2013.\dfrac{1}{2013}\)
\(\Leftrightarrow1+1+1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}=1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2c+a^2b+b^2c+ab^2+bc^2+ac^2+2abc}{abc}=0\)
\(\Leftrightarrow a^2c+a^2b+b^2c+ab^2+bc^2+ac^2+2abc=0\)
\(\Leftrightarrow ac\left(a+b\right)+ab\left(a+b\right)+bc\left(a+b\right)+c^2\left(a+b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{matrix}\right.\)
Mà \(a+b+c=2013\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2013\\b=2013\\c=2013\end{matrix}\right.\)(đpcm)
CMR nếu a,b,c là 3 số thõ mãn a+b+c=2013 và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2013}\) thì 1 trong 3 số đó phải bằng 2013
Bạn nhân a+b+c và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)lại với nhau rồi trừ 1 ở mỗi vế, phân tích mẫu ra sẽ đc(a+b)(b+c)(c+a)=0
Nhân các vế a +b +c và
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
~Study well~ :)
chứng minh rằng nếu a b c là 3 số thỏa mãn a+b+c=2008 và 1/a+1/b+1/c=1/2008 thì trong ba số a b c phải có một số = 2008
Em tham khảo cách làm tương tự như link bên dưới nhé!
Câu hỏi của đàm anh quân lê - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
chứng minh rằng trong ba số a,b,c thỏa mãn a+b+c=2016 và 1/a+1/b+1/c=1/2016 thì trong ba số phải có một số bằng 2016
Câu hỏi của đàm anh quân lê - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo cách làm tương tự!
Giả sử 3 số a,b,c thỏa mãn điều kiện abc = 2013. Chứng minh rằng:
2013a/(ab+2013a+2013) + b/(bc+b+2013) + c/(ac+c+1) = 1
\(=\frac{2013ac}{abc+2013ac+2013c}+\frac{abc}{abc^2+abc+2013ac}+\frac{2013c}{2013ac+2013c+2013}\)
\(=\frac{2013ac}{2013+2013ac+2013c}+\frac{2013}{2013c+2013+2013ac}+\frac{2013c}{2013ac+2013c+2013}\)
\(=\frac{2013ac+2013c+2013}{2013ac+2013c+2013}=1\left(đpcm\right)\)
Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn:
\(a+b+c=2015\) và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2015}\)
Thì trong 3 số a, b, c phải có một số bằng 2015
ta có:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2015}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{2015}\)
\(\Rightarrow2015\left(ab+bc+ac\right)=abc\)
mà a+b+c=2015 \(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)-abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc\right)\left(a+b+c\right)+ac\left(a+b+c\right)-abc=0\)
\(\Leftrightarrow b\left(a+c\right)\left(a+b+c\right)+ac\left(a+c\right)+abc-abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(ab+b^2+bc+ac\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(a+b\right)=0\)
\(\Rightarrow a+c=0\Rightarrow b=2015;b+c=0\Rightarrow a=2015;a+c=0\Rightarrow b=2015\)
VẬy.......
Cho $a$, $b$, $c$ là các số dương thỏa mãn $abc = 1$. Chứng minh rằng nếu $a + b + c > \dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c$ thì có một và chỉ một trong ba số $a$, $b$, $c$ lớn hơn $1$.
Tham khảo:
Gỉa sử : a+b+c> 1/a + 1/b + 1/c nhưng không thỏa mãn một và chỉ một trong 3 số a,b,c lớn hơn 1
*TH1:Cả 3 số a,b,c đều lớn hơn 1 hoặc đều nhỏ hơn 1 suy ra mâu thẫn( vì abc=1)
*TH2: có 2 số lớn hơn 1
Gỉa sử: a>1, b>1, c<1 <=> a-1>0 , b-1>0 , c-1<0
=> (a-1)(b-1)(c-1)<0
=>abc+a+b+c-(ab+bc+ca)-1<0
<=>a+b+c<ab+bc+ca
<=>a+b+c<abc/c+abc/a+abc/b
Thay abc=1 ta được:
a+b+c<1/a+1/b+1/c(mâu thuẫn với giả thuyết nên điều giả sử sai)
=>đpcm
Trường hợp 1: Giả sử ba số , , đều lớn hơn hoặc ba số , , đều nhỏ hơn .
Khi đó
a.b.c (trái với giả thiết).
Trường hợp 2: Giả sử hai trong ba số , , lớn hơn 1.
Không mất tính tổng quát, giả sử và .
Vì nên do đó:
a + b + c < + \(\dfrac{abc}{a}\) + \(\dfrac{abc}{b}\)
⇔ a + b + c < \(\dfrac{1}{c}\) + \(\dfrac{1}{a}\) + \(\dfrac{1}{b}\) (mâu thuẫn với giả thiết)
Vậy chỉ có một và chỉ một trong ba số , , lớn hơn
cho a+b+c=2013 va 1/a+1/b+1/c=1/2013. chứng minh rằng có ít nhất 1 số bằng 2013 ?
a)cho 2013 số khác 0 thỏa mãn 4 số bất kì trong đó đều có thể lập nên 1 tỉ lệ thức.chứng minh rằng trong 2013 số đã cho có ít nhất 504 số bằng nhau.
b) cho a,b là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn |a-b|<1. Chứng minh rằng \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}< 3\)